Volume d'un pavé droit

Le volume V d'un pavé droit s'obtient en multipliant l'aire de sa base A_B par sa hauteur h : $$ V = A_B \cdot h $$ Comme $ A_B = l \cdot w $, on peut également calculer le volume en multipliant directement la longueur (l), la largeur (w) et la hauteur (h) du pavé droit : $$ V = l \cdot w \cdot h $$

Démonstration

Pour comprendre d'où vient cette formule, considérons quatre pavés droits et choisissons une unité de longueur $ u = 1 $.

Le quatrième solide est un cube unité. Son volume vaut donc $ V_4 = u^3 $.

Notre objectif est de montrer que le volume du premier pavé droit est donné par $ V_1 = abc $.

Pour cela, nous allons comparer successivement les volumes de solides dont une seule dimension varie. Le raisonnement repose sur une propriété fondamentale : lorsque deux dimensions restent constantes, le volume est proportionnel à la troisième dimension. Si les dimensions sont des multiples entiers de l'unité de longueur, on peut aussi interpréter ce raisonnement en comptant le nombre de cubes unités ($ u = 1 $) contenus dans le solide.

Commençons par comparer le premier et le deuxième pavé droit. Ils ont la même aire de base $ a \cdot b $, mais des hauteurs différentes : $ c $ pour le premier et $ u $ pour le deuxième.

$$ V_1 = a \cdot b \cdot c $$

$$ V_2 = a \cdot b \cdot u $$

D'après une propriété des prismes, lorsque deux prismes droits ont des bases de même aire, leurs volumes sont proportionnels à leurs hauteurs :

$$ V_1 : V_2 = c : u $$

On en déduit :

$$ V_1 = \frac{c}{u} \cdot V_2 $$

Comme $ u = 1 $, cette relation devient :

$$ V_1 = c \cdot V_2 $$

Comparons maintenant le deuxième et le troisième pavé droit. Ils ont en commun une face d'aire $ b \cdot u $, mais leurs longueurs diffèrent : $ a $ pour le deuxième et $ u $ pour le troisième.

$$ V_2 = a \cdot b \cdot u $$

$$ V_3 = u \cdot b \cdot u $$

Leurs volumes sont donc proportionnels à leurs longueurs :

$$ V_2 : V_3 = a : u $$

Nous obtenons alors :

$$ V_2 = \frac{a}{u} \cdot V_3 = a \cdot V_3 $$

Comparons enfin le troisième et le quatrième pavé droit. Ils ont en commun une face d'aire $ u \cdot u $, mais leurs largeurs diffèrent : $ b $ pour le troisième et $ u $ pour le quatrième.

$$ V_3 = u \cdot b \cdot u $$

$$ V_4 = u \cdot u \cdot u $$

Leurs volumes sont, de la même façon, proportionnels à leurs largeurs :

$$ V_3 : V_4 = b : u $$

Il vient donc :

$$ V_3 = \frac{b}{u} \cdot V_4 = b \cdot V_4 $$

Revenons maintenant au premier pavé droit. Nous pouvons exprimer progressivement son volume en fonction du volume du cube unité :

$$ V_1 = c \cdot V_2 $$

Comme $ V_2 = a \cdot V_3 $, nous avons :

$$ V_1 = c \cdot (a \cdot V_3) $$

Et puisque $ V_3 = b \cdot V_4 $, nous obtenons :

$$ V_1 = c \cdot (a \cdot (b \cdot V_4)) $$

Autrement dit :

$$ V_1 = a \cdot b \cdot c \cdot V_4 $$

Lorsque $ a $, $ b $ et $ c $ correspondent à des nombres entiers d'unités de longueur, cette relation possède une interprétation géométrique très simple : le premier pavé droit peut être décomposé en $ a \cdot b \cdot c $ cubes unités, chacun de volume $ V_4 $.

Puisque le cube unité a pour volume $ V_4 = u^3 = 1 $, l'expression précédente se simplifie :

$$ V_1 = a \cdot b \cdot c $$

On retrouve ainsi la formule générale : le volume d'un pavé droit est égal au produit de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur.

Le même principe permet de calculer le volume de tout pavé droit, quelles que soient ses dimensions.