Points d'inflexion

Un point d'inflexion est un point de la courbe représentative d'une fonction où celle-ci change de convexité. Autrement dit, la courbe passe d'une forme convexe à une forme concave, ou inversement.

Soit $ y=f(x) $ une fonction définie et continue sur un intervalle \(I\), et dérivable en tout point de cet intervalle, sauf éventuellement en un unique point \(x_0\). Le point \((x_0,f(x_0))\) est un point d'inflexion si la courbe change de convexité au voisinage de \(x_0\).

D'un point de vue géométrique, la courbe n'a donc pas la même convexité de part et d'autre du point d'inflexion.

Par exemple, elle peut être concave avant le point d'inflexion, puis convexe après celui-ci. Le changement inverse est également possible.

La tangente en un point d'inflexion

Si la fonction est dérivable en un point d'inflexion, sa courbe représentative admet une tangente en ce point.

Cette tangente peut être horizontale ou oblique. Un point d'inflexion peut également présenter une tangente verticale. Dans ce cas, la dérivée ordinaire au point considéré n'est pas finie.

Pour une courbe suffisamment régulière dont la tangente est bien définie au point d'inflexion, la courbe traverse généralement sa tangente en ce point.

Cette propriété géométrique est directement liée au changement de convexité qui caractérise le point d'inflexion.

Pourquoi ? Considérons un point d'inflexion \(F\) et une droite sécante qui coupe la courbe en \(A\), \(F\) et \(B\). Lorsque \(A\) et \(B\) se rapprochent de \(F\), la droite sécante se rapproche progressivement de la tangente en \(F\). À la limite, les trois points d'intersection tendent à se confondre en \(F\). Pour des courbes algébriques suffisamment régulières, on peut décrire ce comportement en disant que la tangente a un ordre de contact impair avec la courbe en un point d'inflexion ordinaire.

Comment classer un point d'inflexion

Les points d'inflexion peuvent être classés selon deux critères distincts : la direction de la tangente et le sens du changement de convexité.

Le premier critère concerne la direction de la tangente, lorsqu'elle existe.

• Si la tangente est parallèle à l'axe \(x\), il s'agit d'un point d'inflexion à tangente horizontale.
• Si la tangente est parallèle à l'axe \(y\), il s'agit d'un point d'inflexion à tangente verticale.
• Si la tangente n'est parallèle à aucun des deux axes, il s'agit d'un point d'inflexion à tangente oblique.

Le second critère concerne le sens du changement de convexité.

• La courbe peut passer d'une forme concave à une forme convexe.
• La courbe peut passer d'une forme convexe à une forme concave.

Remarque. Ces deux classifications sont indépendantes. Par exemple, un point d'inflexion peut avoir une tangente horizontale et correspondre au passage d'une courbe concave à une courbe convexe. De même, il peut avoir une tangente oblique tandis que la courbe passe d'une forme convexe à une forme concave.

L'idée essentielle à retenir est simple : ce qui caractérise un point d'inflexion est toujours un changement de convexité. La direction de la tangente, lorsqu'elle existe, apporte une information supplémentaire sur la géométrie de la courbe.

Points d'inflexion selon la tangente

Lorsqu'une tangente existe en un point d'inflexion, on distingue trois cas selon sa direction.

La tangente peut être horizontale, verticale ou oblique.

Point d'inflexion à tangente horizontale

Un point d'inflexion est dit à tangente horizontale lorsque sa tangente est parallèle à l'axe \(x\).

Dans ce cas, le coefficient directeur de la tangente est nul. Par conséquent, si la fonction est dérivable en \(x_0\), la dérivée vérifie $ f'(x_0)=0 $.

Remarque. La condition $ f'(x_0)=0 $ ne suffit pas, à elle seule, pour affirmer que \(x_0\) est un point d'inflexion. Il faut également que la fonction change de convexité en \(x_0\). En l'absence d'un tel changement, le point peut être un maximum local, un minimum local ou un autre type de point stationnaire.

Point d'inflexion à tangente verticale

Un point d'inflexion est dit à tangente verticale lorsque sa tangente est parallèle à l'axe \(y\). 

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Dans ce cas, la dérivée ordinaire au point considéré n'est pas finie et peut ne pas être définie, même si la courbe admet bien une tangente verticale. Un exemple classique est fourni par la courbe représentative de \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) en \(x=0\).

Point d'inflexion à tangente oblique

Un point d'inflexion est dit à tangente oblique lorsque sa tangente n'est parallèle ni à l'axe \(x\) ni à l'axe \(y\).

Dans ce cas, la tangente possède un coefficient directeur fini et non nul.

Si la fonction est dérivable en \(x_0\), sa dérivée au point d'inflexion est donc finie et non nulle : $ f'(x_0)\neq 0 $.

Passage d'une courbe concave à une courbe convexe

Un point d'inflexion peut apparaître lorsque la courbe passe d'une forme concave à une forme convexe.

Plus précisément :

• à gauche du point d'inflexion, la courbe est concave ;
• à droite du point d'inflexion, la courbe est convexe.

Lorsqu'on parcourt la courbe de gauche à droite et que l'on franchit le point d'inflexion, sa convexité change.

Remarque. Si la fonction est deux fois dérivable sur des intervalles situés immédiatement à gauche et à droite du point d'inflexion \(x_0\), la dérivée seconde vérifie $ f''(x)<0 $ à gauche de \(x_0\), où la fonction est concave, et $ f''(x)>0 $ à droite de \(x_0\), où elle est convexe.

Ce type de point d'inflexion peut avoir une tangente horizontale, verticale ou oblique, selon le comportement de la fonction au point considéré.

Il faut toutefois garder à l'esprit une distinction importante : le fait que la courbe passe d'une forme concave à une forme convexe ne signifie pas nécessairement que la fonction est croissante.

La convexité renseigne sur la manière dont évolue la pente de la courbe, et non sur l'augmentation ou la diminution des valeurs de la fonction.

Il s'agit de deux propriétés différentes. La croissance et la décroissance concernent la monotonie de la fonction et sont liées au signe de \(f'(x)\). La convexité, quant à elle, décrit l'évolution de la pente et, lorsque la dérivée seconde existe, elle est liée au signe de \(f''(x)\).

Il est donc essentiel de distinguer ces deux notions afin de ne pas confondre la monotonie d'une fonction avec la convexité de sa courbe représentative.

Passage d'une courbe convexe à une courbe concave

Le changement inverse se produit lorsque la courbe passe d'une forme convexe à une forme concave.

Dans ce cas :

• à gauche du point d'inflexion, la courbe est convexe ;
• à droite du point d'inflexion, la courbe est concave.

Remarque. Si la fonction est deux fois dérivable sur des intervalles situés immédiatement à gauche et à droite du point d'inflexion \(x_0\), la dérivée seconde vérifie $ f''(x)>0 $ à gauche de \(x_0\), où la fonction est convexe, et $ f''(x)<0 $ à droite de \(x_0\), où elle est concave.

Ce type de point d'inflexion peut également avoir une tangente horizontale, verticale ou oblique, selon le comportement de la fonction au point considéré.

Ici encore, la propriété essentielle du point d'inflexion est le changement de convexité au passage par ce point, en l'occurrence le passage d'une forme convexe à une forme concave.

Cela ne signifie pas pour autant que la fonction est nécessairement décroissante.

La croissance ou la décroissance d'une fonction et la convexité de sa courbe sont deux propriétés distinctes. La monotonie est liée au signe de la dérivée première, tandis que la convexité décrit l'évolution de la pente et, lorsque la dérivée seconde existe, elle est liée au signe de \(f''(x)\).