Points d'inflexion

Un point d'inflexion est un point de la courbe représentative d'une fonction où celle-ci change de convexité. Autrement dit, la courbe passe d'une forme convexe à une forme concave, ou inversement.

Soit $ y=f(x) $ une fonction définie et continue sur un intervalle \(I\), et dérivable en tout point de cet intervalle, sauf éventuellement en un unique point \(x_0\). Le point \((x_0,f(x_0))\) est un point d'inflexion si la courbe change de convexité au voisinage de \(x_0\).

D'un point de vue géométrique, la courbe n'a donc pas la même convexité de part et d'autre du point d'inflexion.

Par exemple, elle peut être concave avant le point d'inflexion, puis convexe après celui-ci. Le changement inverse est également possible.

La tangente en un point d'inflexion

Si la fonction est dérivable en un point d'inflexion, sa courbe représentative admet une tangente en ce point.

Cette tangente peut être horizontale ou oblique. Un point d'inflexion peut également présenter une tangente verticale. Dans ce cas, la dérivée ordinaire au point considéré n'est pas finie.

Pour une courbe suffisamment régulière dont la tangente est bien définie au point d'inflexion, la courbe traverse généralement sa tangente en ce point.

Cette propriété géométrique est directement liée au changement de convexité qui caractérise le point d'inflexion.

Pourquoi ? Considérons un point d'inflexion \(F\) et une droite sécante qui coupe la courbe en \(A\), \(F\) et \(B\). Lorsque \(A\) et \(B\) se rapprochent de \(F\), la droite sécante se rapproche progressivement de la tangente en \(F\). À la limite, les trois points d'intersection tendent à se confondre en \(F\). Pour des courbes algébriques suffisamment régulières, on peut décrire ce comportement en disant que la tangente a un ordre de contact impair avec la courbe en un point d'inflexion ordinaire.

Comment classer un point d'inflexion

Les points d'inflexion peuvent être classés selon deux critères distincts : la direction de la tangente et le sens du changement de convexité.

Le premier critère concerne la direction de la tangente, lorsqu'elle existe.

• Si la tangente est parallèle à l'axe \(x\), il s'agit d'un point d'inflexion à tangente horizontale.
• Si la tangente est parallèle à l'axe \(y\), il s'agit d'un point d'inflexion à tangente verticale.
• Si la tangente n'est parallèle à aucun des deux axes, il s'agit d'un point d'inflexion à tangente oblique.

Le second critère concerne le sens du changement de convexité.

• La courbe peut passer d'une forme concave à une forme convexe.
• La courbe peut passer d'une forme convexe à une forme concave.

Remarque. Ces deux classifications sont indépendantes. Par exemple, un point d'inflexion peut avoir une tangente horizontale et correspondre au passage d'une courbe concave à une courbe convexe. De même, il peut avoir une tangente oblique tandis que la courbe passe d'une forme convexe à une forme concave.

L'idée essentielle à retenir est simple : ce qui caractérise un point d'inflexion est toujours un changement de convexité. La direction de la tangente, lorsqu'elle existe, apporte une information supplémentaire sur la géométrie de la courbe.

Points d'inflexion selon la tangente

Lorsqu'une tangente existe en un point d'inflexion, on distingue trois cas selon sa direction.

La tangente peut être horizontale, verticale ou oblique.

Point d'inflexion à tangente horizontale

Un point d'inflexion est dit à tangente horizontale lorsque sa tangente est parallèle à l'axe \(x\).

Dans ce cas, le coefficient directeur de la tangente est nul. Par conséquent, si la fonction est dérivable en \(x_0\), la dérivée vérifie $ f'(x_0)=0 $.

Remarque. La condition $ f'(x_0)=0 $ ne suffit pas, à elle seule, pour affirmer que \(x_0\) est un point d'inflexion. Il faut également que la fonction change de convexité en \(x_0\). En l'absence d'un tel changement, le point peut être un maximum local, un minimum local ou un autre type de point stationnaire.

Point d'inflexion à tangente verticale

Un point d'inflexion est dit à tangente verticale lorsque sa tangente est parallèle à l'axe \(y\). 

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Dans ce cas, la dérivée ordinaire au point considéré n'est pas finie et peut ne pas être définie, même si la courbe admet bien une tangente verticale. Un exemple classique est fourni par la courbe représentative de \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) en \(x=0\).

Point d'inflexion à tangente oblique

Un point d'inflexion est dit à tangente oblique lorsque sa tangente n'est parallèle ni à l'axe \(x\) ni à l'axe \(y\).

Dans ce cas, la tangente possède un coefficient directeur fini et non nul.

Si la fonction est dérivable en \(x_0\), sa dérivée au point d'inflexion est donc finie et non nulle : $ f'(x_0)\neq 0 $.

Passage d'une courbe concave à une courbe convexe

Un point d'inflexion peut apparaître lorsque la courbe passe d'une forme concave à une forme convexe.

Plus précisément :

• à gauche du point d'inflexion, la courbe est concave ;
• à droite du point d'inflexion, la courbe est convexe.

Lorsqu'on parcourt la courbe de gauche à droite et que l'on franchit le point d'inflexion, sa convexité change.

Remarque. Si la fonction est deux fois dérivable sur des intervalles situés immédiatement à gauche et à droite du point d'inflexion \(x_0\), la dérivée seconde vérifie $ f''(x)<0 $ à gauche de \(x_0\), où la fonction est concave, et $ f''(x)>0 $ à droite de \(x_0\), où elle est convexe.

Ce type de point d'inflexion peut avoir une tangente horizontale, verticale ou oblique, selon le comportement de la fonction au point considéré.

Il faut toutefois garder à l'esprit une distinction importante : le fait que la courbe passe d'une forme concave à une forme convexe ne signifie pas nécessairement que la fonction est croissante.

La convexité renseigne sur la manière dont évolue la pente de la courbe, et non sur l'augmentation ou la diminution des valeurs de la fonction.

Il s'agit de deux propriétés différentes. La croissance et la décroissance concernent la monotonie de la fonction et sont liées au signe de \(f'(x)\). La convexité, quant à elle, décrit l'évolution de la pente et, lorsque la dérivée seconde existe, elle est liée au signe de \(f''(x)\).

Il est donc essentiel de distinguer ces deux notions afin de ne pas confondre la monotonie d'une fonction avec la convexité de sa courbe représentative.

Passage d'une courbe convexe à une courbe concave

Le changement inverse se produit lorsque la courbe passe d'une forme convexe à une forme concave.

Dans ce cas :

• à gauche du point d'inflexion, la courbe est convexe ;
• à droite du point d'inflexion, la courbe est concave.

Remarque. Si la fonction est deux fois dérivable sur des intervalles situés immédiatement à gauche et à droite du point d'inflexion \(x_0\), la dérivée seconde vérifie $ f''(x)>0 $ à gauche de \(x_0\), où la fonction est convexe, et $ f''(x)<0 $ à droite de \(x_0\), où elle est concave.

Ce type de point d'inflexion peut également avoir une tangente horizontale, verticale ou oblique, selon le comportement de la fonction au point considéré.

Ici encore, la propriété essentielle du point d'inflexion est le changement de convexité au passage par ce point, en l'occurrence le passage d'une forme convexe à une forme concave.

Cela ne signifie pas pour autant que la fonction est nécessairement décroissante.

La croissance ou la décroissance d'une fonction et la convexité de sa courbe sont deux propriétés distinctes. La monotonie est liée au signe de la dérivée première, tandis que la convexité décrit l'évolution de la pente et, lorsque la dérivée seconde existe, elle est liée au signe de \(f''(x)\).

Points d'inflexion à tangente horizontale : définition et critères

La première condition indique que la tangente à la courbe est horizontale. La seconde signifie que la fonction conserve son sens de variation lorsqu'elle passe par le point stationnaire : elle continue de croître ou de décroître.

Attention toutefois : ces deux conditions ne suffisent pas à garantir l'existence d'un point d'inflexion. Même si la dérivée première conserve le même signe de part et d'autre du point, la fonction peut rester convexe ou concave sans changer de convexité.

Pour confirmer que \((x_0,f(x_0))\) est un point d'inflexion à tangente horizontale, il faut donc vérifier une propriété supplémentaire : la fonction doit changer de convexité en \(x_0\).

À retenir. Un point d'inflexion à tangente horizontale possède deux caractéristiques essentielles : la tangente est horizontale et la fonction change de convexité. La dérivée première s'annule donc en ce point. Dans les cas étudiés ici, elle conserve également le même signe de part et d'autre. La fonction reste ainsi croissante ou décroissante, mais sa pente évolue différemment : la dérivée première, jusque-là croissante, devient décroissante, ou inversement. Contrairement aux cas classiques de maximum ou de minimum local, la fonction ne change pas de sens de variation.

En pratique, pour reconnaître un point d'inflexion à tangente horizontale, il faut donc étudier la dérivée première et la convexité de la fonction.

Voyons comment appliquer cette méthode dans deux situations : lorsque la fonction est croissante, puis lorsqu'elle est décroissante.

1] Point d'inflexion à tangente horizontale d'une fonction croissante

Commençons par le cas d'une fonction croissante. Supposons que sa dérivée première soit strictement positive de part et d'autre de \(x_0\) :

\[ f'(x)>0 \qquad \text{pour }x\neq x_0 \]

On suppose cette inégalité vérifiée pour toutes les valeurs de \(x\) suffisamment proches de \(x_0\).

Puisque la dérivée est positive, la fonction est strictement croissante de part et d'autre du point stationnaire.

En \(x_0\), la dérivée s'annule et la tangente devient horizontale. Si la fonction change également de convexité en ce point, alors \((x_0,f(x_0))\) est un point d'inflexion à tangente horizontale.

Exemple

Considérons la fonction :

\[ f(x)=x^3 \]

Pour commencer, calculons sa dérivée première :

\[ f'(x)=3x^2 \]

En \(x=0\), la dérivée s'annule :

\[ f'(0)=0 \]

En revanche, pour tout \(x\neq 0\), elle est strictement positive :

\[ 3x^2>0 \]

La fonction est donc strictement croissante de part et d'autre de l'origine, même si sa tangente est horizontale en \(x=0\).

Mais cela suffit-il pour conclure qu'il s'agit d'un point d'inflexion ? Pas encore. Il reste à vérifier si la fonction change de convexité lorsqu'on traverse l'origine.

Calculons pour cela sa dérivée seconde :

\[ f''(x)=6x \]

Étudions maintenant son signe :

• Si \(x<0\), la dérivée seconde est négative : la fonction est concave.
• Si \(x>0\), la dérivée seconde est positive : la fonction est convexe.

La fonction passe donc de concave à convexe lorsqu'on traverse l'origine. De plus, nous savons que sa dérivée première s'annule en ce point.

Nous pouvons ainsi conclure que la fonction \(f(x)=x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et possède un point d'inflexion à tangente horizontale en \(O(0,0)\).

Ce point n'est ni un maximum ni un minimum local, car la fonction continue de croître de part et d'autre de l'origine.

2] Point d'inflexion à tangente horizontale d'une fonction décroissante

Passons maintenant au cas d'une fonction décroissante. Supposons que sa dérivée première soit strictement négative de part et d'autre de \(x_0\) :

\[ f'(x)<0 \qquad \text{pour }x\neq x_0 \]

Cette inégalité est supposée vérifiée pour toutes les valeurs de \(x\) suffisamment proches de \(x_0\).

La fonction est alors strictement décroissante de part et d'autre du point stationnaire.

Si la dérivée première s'annule en \(x_0\) et que la fonction change de convexité en ce point, alors \((x_0,f(x_0))\) est un point d'inflexion à tangente horizontale.

Exemple

Considérons la fonction :

\[ f(x)=-x^3 \]

Calculons sa dérivée première :

\[ f'(x)=-3x^2 \]

À l'origine, cette dérivée s'annule :

\[ f'(0)=0 \]

En revanche, pour tout \(x\neq 0\), on a :

\[ -3x^2<0 \]

La dérivée est donc strictement négative partout, sauf à l'origine, où elle est nulle. La fonction est ainsi strictement décroissante de part et d'autre de \(x=0\).

Il reste à vérifier si elle change de convexité. Pour cela, calculons sa dérivée seconde :

\[ f''(x)=-6x \]

Étudions son signe :

• Si \(x<0\), la dérivée seconde est positive : la fonction est convexe.
• Si \(x>0\), la dérivée seconde est négative : la fonction est concave.

Cette fois, la fonction passe de convexe à concave lorsqu'on traverse l'origine. Sa dérivée première s'annule également en ce point.

On peut donc conclure que \(f(x)=-x^3\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) et possède un point d'inflexion à tangente horizontale en \(O(0,0)\).

Différence entre un point d'inflexion à tangente horizontale et un extremum local

Comment distinguer un point d'inflexion à tangente horizontale d'un maximum ou d'un minimum local ?

Dans les situations étudiées ici, la première chose à observer est le signe de la dérivée première de part et d'autre du point stationnaire.

• Maximum local : lorsque la dérivée première passe d'un signe positif à un signe négatif, la fonction passe de croissante à décroissante.
• Minimum local : lorsque la dérivée première passe d'un signe négatif à un signe positif, la fonction passe de décroissante à croissante.
• Point d'inflexion à tangente horizontale d'une fonction croissante : la dérivée première reste positive de part et d'autre du point.
• Point d'inflexion à tangente horizontale d'une fonction décroissante : la dérivée première reste négative de part et d'autre du point.

Dans les cas de maximum et de minimum locaux présentés ci-dessus, la fonction change de sens de variation. Elle cesse de croître pour commencer à décroître, ou inversement.

En revanche, aux points d'inflexion à tangente horizontale étudiés ici, la fonction conserve son sens de variation, mais change de convexité.

Il faut toutefois garder à l'esprit une distinction essentielle : l'absence de changement de signe de la dérivée première ne suffit pas à prouver l'existence d'un point d'inflexion. Pour conclure, il faut aussi vérifier que la fonction change effectivement de convexité.

Comment déterminer les points d'inflexion à tangente horizontale ?

Pour rechercher les points d'inflexion à tangente horizontale d'une fonction dérivable, on peut suivre une méthode simple en quatre étapes :

• 1. Calculer la dérivée première \(f'(x)\).
• 2. Rechercher les points stationnaires en résolvant l'équation \(f'(x)=0\).
• 3. Étudier le signe de la dérivée première à gauche et à droite de chaque point stationnaire.
• 4. Vérifier si la fonction change de convexité, par exemple en étudiant le signe de la dérivée seconde lorsqu'elle existe au voisinage du point considéré.

Si la dérivée première conserve le même signe de part et d'autre d'un point stationnaire et que la fonction change de convexité en ce point, le point correspondant sur la courbe est un point d'inflexion à tangente horizontale.

Autre méthode : le critère de la dérivée troisième

Il existe également une autre méthode pour reconnaître ces points lorsque la fonction possède les dérivées nécessaires : le critère de la dérivée troisième.

Supposons que la fonction soit deux fois dérivable dans un voisinage de \(x_0\) et que ses dérivées première et seconde s'annulent en ce point :

\[ f'(x_0)=0,\qquad f''(x_0)=0 \]

Calculons alors sa dérivée troisième. Si celle-ci existe et est non nulle en \(x_0\) :

\[ f'''(x_0)\neq 0 \]

on peut conclure que \((x_0,f(x_0))\) est un point d'inflexion à tangente horizontale.

Pourquoi ? Puisque \(f''(x_0)=0\) et que la dérivée de \(f''\) en \(x_0\) est non nulle, la dérivée seconde change nécessairement de signe au voisinage de ce point. La fonction change donc de convexité. Par ailleurs, l'égalité \(f'(x_0)=0\) garantit que la tangente est horizontale.

Attention cependant : ces conditions sont suffisantes, mais non nécessaires. Elles garantissent l'existence d'un point d'inflexion à tangente horizontale, mais un tel point peut également exister lorsque la dérivée troisième est nulle.

Voyons un exemple :

\[ f(x)=x^5 \]

Cette fonction possède un point d'inflexion à tangente horizontale à l'origine, alors même que sa dérivée troisième s'y annule.

Pour le vérifier, calculons d'abord sa dérivée première :

\[ f'(x)=5x^4 \]

Elle s'annule en \(x=0\), ce qui montre que la tangente à la courbe est horizontale à l'origine :

\[ f'(0)=0 \]

Calculons ensuite sa dérivée seconde :

\[ f''(x)=20x^3 \]

Cette dérivée est négative pour \(x<0\) et positive pour \(x>0\). La fonction passe donc de concave à convexe lorsqu'on traverse l'origine.

Enfin, calculons sa dérivée troisième :

\[ f'''(x)=60x^2 \]

On obtient :

\[ f'''(0)=0 \]

Malgré cette annulation, l'origine est bien un point d'inflexion à tangente horizontale : la dérivée première y est nulle et la fonction y change de convexité.

On en retient que l'annulation de la dérivée troisième n'exclut pas l'existence d'un point d'inflexion à tangente horizontale. Elle signifie simplement que le critère de la dérivée troisième non nulle ne permet pas de conclure.

Dans ce cas, il faut poursuivre l'étude. On peut notamment examiner le signe de la dérivée seconde de part et d'autre du point considéré ou utiliser des critères faisant intervenir des dérivées d'ordre supérieur, lorsque les hypothèses de dérivabilité le permettent, afin de vérifier si la fonction change effectivement de convexité.