Loi de Stevin (relation fondamentale de la statique des fluides)
Dans un fluide au repos, la pression augmente avec la profondeur selon la relation $$ p = p_{at} + \rho g h $$ où \( p \) est la pression à la profondeur \( h \), \( p_{at} \) la pression atmosphérique, \( \rho \) la masse volumique du fluide, \( g \) l'accélération de la pesanteur et \( h \) la profondeur.
La loi de Stevin permet de comprendre comment la pression se répartit dans un fluide immobile.
Elle montre que la pression dépend uniquement de deux facteurs, la profondeur et la masse volumique du fluide. Elle ne dépend pas de la forme du récipient.
Concrètement, plus on descend dans un fluide, plus la pression augmente. Cette augmentation s'explique simplement par le poids du fluide situé au-dessus du point considéré, auquel s'ajoute la pression atmosphérique exercée à la surface.
La pression ne dépend pas de la forme du récipient. C'est un résultat essentiel. La pression à une certaine profondeur dépend uniquement de la hauteur de la colonne de fluide et de sa masse volumique, et non de la forme du contenant. Ainsi, deux récipients de formes différentes peuvent produire exactement la même pression au fond s'ils contiennent le même fluide à la même hauteur.
Plus la profondeur augmente, plus la masse de fluide au-dessus est grande, ce qui entraîne une pression plus élevée.
Démonstration
Un fluide exerce une pression parce qu'il possède une masse et donc un poids.
À un point donné, la pression est due à la colonne de fluide située au-dessus, qui exerce une force vers le bas.
La pression totale est donc la somme de deux contributions :
- la pression atmosphérique exercée à la surface
- le poids du fluide situé au-dessus du point considéré
Considérons une colonne cylindrique de fluide de base \( A \) et de hauteur \( h \).
Son volume est
$$ V = A h $$
Or, le volume est lié à la masse et à la masse volumique par $ V = \frac{m}{\rho} $. On en déduit :
$$ m = \rho V = \rho A h $$
Le poids du fluide vaut alors :
$$ W = m g = \rho A h g $$
La force exercée sur la base est la somme de la force due à la pression atmosphérique et du poids du fluide :
$$ F = p_{at} A + \rho A h g $$
En divisant cette force par la surface \( A \), on obtient la pression :
$$ \frac{F}{A} = \frac{ p_{at} A + \rho A h g}{A} $$
$$ p = \frac{F}{A} = p_{at} + \rho g h $$
On retrouve ainsi l'expression de la loi de Stevin.
Exemple pratique
Un plongeur qui descend dans l'eau ressent rapidement l'effet de l'augmentation de la pression.
En pratique, tous les 10 mètres de profondeur, la pression augmente d'environ 1 atmosphère.
À la surface, la pression est de 1 atmosphère, ce qui correspond à la pression de l'air sur l'eau :
$$ 1 \ atm \approx 1.013 \cdot 10^5 \ Pa $$
Ainsi, à 10 mètres, la pression est d'environ 2 atmosphères, à 20 mètres environ 3 atmosphères, à 30 mètres environ 4 atmosphères.
Lorsque le plongeur libère des bulles d'air, celles-ci remontent vers la surface.
Leur volume varie au cours de la remontée. En profondeur, les bulles sont comprimées par la pression extérieure et occupent un volume plus faible.
À mesure qu'elles remontent, la pression diminue et le gaz se dilate. Le volume des bulles augmente alors progressivement.
Différence de pression entre deux points séparés par Δh
La différence de pression entre deux points situés à des profondeurs différentes est proportionnelle à la masse volumique du fluide et à la différence de hauteur $ \Delta h $ $$ p_2 - p_1 = \rho \cdot g \cdot \Delta h $$ où \( \rho \) est la masse volumique du fluide et \( g \) l'accélération de la pesanteur.
Cette relation permet de comparer directement la pression entre deux points d'un fluide situés à des profondeurs différentes.
Démonstration
Considérons deux points du fluide situés à des profondeurs différentes.
Si le point 2 est plus profond que le point 1, alors la pression \( p_2 \) est plus grande que \( p_1 \), car il supporte une colonne de fluide plus élevée.
$$ p_1 = p_{at} + \rho g h_1 $$
$$ p_2 = p_{at} + \rho g h_2 $$
En faisant la différence :
$$ p_2 - p_1 = ( p_{at} + \rho g h_2 ) - ( p_{at} + \rho g h_1 ) $$
$$ p_2 - p_1 = \rho g (h_2 - h_1) $$
Comme $ \Delta h = h_2 - h_1 $, on obtient :
$$ p_2 - p_1 = \rho g \Delta h $$
On retrouve ainsi la relation annoncée.
Exemple
Considérons de l'eau, de masse volumique \( \rho = 1000 \ kg/m^3 \).
À 10 mètres de profondeur :
$$ p_1 = \rho g h \approx 1000 \cdot 9.8 \cdot 10 = 98000 \ Pa $$
À 30 mètres :
$$ p_2 = \rho g h \approx 1000 \cdot 9.8 \cdot 30 = 294000 \ Pa $$
La différence de pression est donc :
$$ p_2 - p_1 = 294000 - 98000 = 196000 \ Pa $$
On peut aussi utiliser directement la formule avec \( \Delta h = 20 \ m \) :
$$ p_2 - p_1 = 1000 \cdot 9.8 \cdot 20 = 196000 \ Pa $$
Le résultat est identique.
Exemple 2
On considère une sphère de rayon 20 cm entièrement immergée dans un liquide. La pression mesurée au sommet est $ p_1 = 105.2 \ kPa $, tandis qu'à la base elle vaut $ p_2 = 107.2 \ kPa $. L'objectif est de déterminer la masse volumique du liquide à partir de ces informations.
Dans un fluide au repos, la pression augmente avec la profondeur. Cette dépendance est décrite par la relation :
$$ p_2 - p_1 = \rho g \Delta h $$
En isolant la masse volumique, on obtient :
$$ \rho = \frac{p_2 - p_1}{g \cdot \Delta h} $$
Commençons par calculer la différence de pression :
$$ \Delta p = p_2 - p_1 = (107.2 - 105.2) \ kPa = 2 \ kPa = 2 \cdot 10^3 \ Pa $$
On prend pour l'accélération de la pesanteur la valeur standard :
$$ g = 9.81 \ m \, s^{-2} $$
La différence de hauteur entre le sommet et la base de la sphère correspond à son diamètre. Comme le rayon est de 20 cm, on a :
$$ \Delta h = 40 \ cm = 0.4 \ m $$
On remplace alors les valeurs dans l'expression de la masse volumique :
$$ \rho = \frac{p_2 - p_1}{g \cdot \Delta h} $$
$$ \rho = \frac{2 \cdot 10^3 \ Pa}{(9.81 \ m \, s^{-2}) \cdot (0.4 \ m)} $$
$$ \rho = \frac{2 \cdot 10^3}{9.81 \cdot 0.4} \ \frac{Pa}{m^2 \, s^{-2}} $$
$$ \rho = 509 \ kg \, m^{-3} $$
Pour exprimer correctement le résultat, on rappelle l'équivalence fondamentale $ Pa = N/m^2 = kg \, m^{-1} \, s^{-2} $, ce qui conduit à :
$$ \rho = 509 \ kg \, m^{-3} $$
On obtient ainsi une masse volumique d'environ :
$$ \rho \approx 5.1 \cdot 10^2 \ kg/m^3 $$
Ce résultat est environ deux fois plus faible que celui de l'eau ( $ \rho_{eau} = 1000 \ kg/m^3 $ ). Le liquide considéré est donc nettement moins dense, comme c'est le cas de nombreuses huiles.
Et ainsi de suite.
