Principe des vases communicants
Les vases communicants sont des récipients interconnectés dans lesquels un liquide, à l'équilibre hydrostatique, se répartit à un même niveau dans tous les bras, à condition que la pression à la surface libre soit identique et que la masse volumique du fluide soit constante.
On peut visualiser facilement ce phénomène avec deux récipients de formes différentes reliés par un tube et remplis du même liquide de masse volumique \( d \). Malgré leurs formes, le comportement du fluide est toujours le même, car il obéit aux lois de l'hydrostatique.
Lorsque les deux récipients sont ouverts à l'air, la pression à la surface libre \( p_0 \) est identique des deux côtés. Le liquide se stabilise alors naturellement à une même hauteur \( h \).
Pourquoi les niveaux s'égalent-ils ?
Tout s'explique par la manière dont la pression varie dans un fluide au repos. La relation fondamentale est :
\[ p = p_0 + dgh \]
La pression augmente avec la profondeur. À une même profondeur \( h \), elle est identique en tout point du fluide.
Dans des vases communicants, cela signifie que la pression au fond des récipients est la même. Il n'existe donc aucune différence de pression capable de mettre le liquide en mouvement. Le système reste en équilibre.
Que se passe-t-il si les niveaux sont différents ?
Si les niveaux ne sont pas identiques au départ, les profondeurs \( h \) diffèrent d'un récipient à l'autre.
Dans ce cas, la pression au fond n'est plus la même. Le récipient où le niveau est le plus élevé exerce une pression plus importante :
\[ p_1 = p_0 + dgh_1 \]
\[ p_2 = p_0 + dgh_2 \]
Cette différence de pression met le liquide en mouvement. Il s'écoule du récipient le plus rempli vers l'autre.
L'écoulement se poursuit jusqu'à ce que les pressions s'équilibrent à nouveau :
\[ p_0 + dgh_1 = p_0 + dgh_2 \]
Comme \( d \), \( g \) et \( p_0 \) sont identiques, il reste :
\[ \require{cancel} \cancel{p_0} + \cancel{dg}h_1 = \cancel{p_0} + \cancel{dg} h_2 \]
D'où :
\[ h_1 = h_2 \]
Le liquide finit donc toujours par atteindre le même niveau dans les deux récipients.
Remarque. Ce principe est présent dans de nombreux systèmes réels. Dans les réseaux d'eau, les réservoirs ou les canalisations, les liquides se répartissent spontanément de manière à équilibrer les niveaux.
Exemple pratique
Considérons deux récipients de formes différentes reliés par leur base.
Au départ, le niveau de l'eau est de 20 cm dans le premier et de 10 cm dans le second.
La pression étant plus élevée dans le premier récipient ( \( p_1 > p_2 \) ), l'eau commence à s'écouler vers le second.
Le flux continue jusqu'à atteindre un niveau commun, par exemple 17 cm.
Ce résultat montre un point essentiel. La forme des récipients n'a aucune influence sur le niveau final. Seule l'égalité des pressions détermine l'équilibre.
Remarque. Le niveau final dépend de la quantité totale de liquide et de la géométrie des récipients. Il correspond à la moyenne des niveaux initiaux uniquement si les sections sont identiques. Dans cet exemple, le récipient qui contient initialement le plus d'eau est aussi le plus grand. Le niveau final (17 cm) est donc plus proche de 20 cm que de 10 cm. Si les deux récipients étaient identiques, le niveau final serait de 15 cm.
Ce raisonnement s'étend sans difficulté à des systèmes plus complexes comportant plusieurs récipients reliés entre eux.
Principe des vases communicants pour des liquides immiscibles
Dans des vases communicants contenant des liquides immiscibles à l'équilibre, les hauteurs des colonnes de liquide sont inversement proportionnelles à leurs masses volumiques. $$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} $$
Lorsque les liquides ne se mélangent pas, les niveaux observés dans les vases communicants ne sont plus identiques. Le liquide le moins dense s'élève davantage, tandis que le plus dense reste à un niveau plus bas.
Ce comportement est caractéristique des liquides immiscibles, comme l'eau et l'huile.
En revanche, si les liquides sont miscibles, ils forment un fluide homogène unique. Dans cette situation, il n'y a plus deux colonnes distinctes et, à l'équilibre, la surface libre du fluide se situe au même niveau dans les deux branches.
Exemple
Considérons deux vases communicants initialement remplis d'eau. Comme il s'agit du même liquide, les niveaux sont identiques dans les deux branches.
On verse ensuite de l'huile dans l'un des récipients. Dès cet instant, les niveaux cessent de coïncider.
Dans la branche contenant l'huile, la hauteur atteint $ h_2 = 5.00 \ cm $. Dans l'autre branche, qui ne contient que de l'eau, la hauteur est plus faible ( $ h_1 < h_2 $ ).
Déterminons la valeur de $ h_1 $. On connaît les masses volumiques des deux liquides :
$$ \rho_{\text{eau}} = 1.00 \cdot 10^3 \ kg/m^3 $$
$$ \rho_{\text{huile}} = 9.20 \cdot 10^2 \ kg/m^3 $$
On applique la relation des vases communicants :
$$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} $$
On isole $ h_1 $ :
$$ h_1 = h_2 \cdot \frac{\rho_2}{\rho_1} $$
On convertit la hauteur de l'huile en mètres :
$$ h_2 = 5.00 \ cm = 0.05 \ m $$
On remplace par les valeurs numériques :
$$ h_1 = (0.05 \ m) \cdot \frac{9.20 \cdot 10^2}{1.00 \cdot 10^3} $$
On simplifie :
$$ h_1 = (0.05 \ m) \cdot 0.92 $$
On obtient :
$$ h_1 = 0.046 \ m $$
Le niveau de l'eau s'élève donc de 4.6 cm, soit moins que celui de l'huile, qui atteint 5 cm. Cela illustre clairement que le liquide le moins dense monte davantage.
Démonstration
Considérons deux vases communicants contenant des liquides immiscibles.
Choisissons deux points A et B situés à la même hauteur dans les deux branches. À l'équilibre hydrostatique, la pression en ces deux points est la même :
$$ p_1 = p_2 $$
La pression dans un fluide au repos s'écrit :
$$ p = p_0 + \rho g h $$
On applique cette relation dans chaque branche :
$$ p_1 = p_0 + \rho_1 g h_1 $$
$$ p_2 = p_0 + \rho_2 g h_2 $$
En égalant les deux expressions :
$$ p_0 + \rho_1 g h_1 = p_0 + \rho_2 g h_2 $$
On élimine la pression atmosphérique :
$$ \rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2 $$
On simplifie par $ g $ :
$$ \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2 $$
On obtient finalement :
$$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} $$
Cette relation constitue le principe des vases communicants pour des liquides immiscibles.
