Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Dados dos vectores \( v_1 \) y \( v_2 \) en el espacio bidimensional real \( \mathbb{R}^2 \), el valor absoluto de su producto escalar \( |( v_1, v_2 )| \) es menor o igual que el producto de sus módulos \( |v_1||v_2| \): $$ |( v_1, v_2 )| \le |v_1||v_2| $$
Se trata de una de las desigualdades fundamentales tanto en álgebra lineal como en análisis.
Ejemplo práctico
Consideremos los siguientes vectores en \( \mathbb{R}^2 \):
$$ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
El producto escalar \( (v_1, v_2) \) se calcula de la siguiente manera:
$$ (v_1, v_2) = 1 \times 3 + 2 \times 4 = 3 + 8 = 11 $$
Ahora calculemos los módulos \( |v_1| \) y \( |v_2| \) de ambos vectores.
El módulo de \( v_1 \) es:
$$ |v_1| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $$
El módulo de \( v_2 \) es:
$$ |v_2| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$
Según la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el valor absoluto del producto escalar de dos vectores siempre es menor o igual que el producto de sus módulos:
$$ |(v_1, v_2)| \leq |v_1||v_2| $$
En este caso, tenemos \( (v_1, v_2) = 11 \), \( |v_1| = \sqrt{5} \), y \( |v_2| = 5 \).
$$ |11| \leq \sqrt{5} \times 5 $$
$$ 11 \leq 5 \times \sqrt{5} \approx 11.18 $$
Por lo tanto:
$$ 11 \leq 11.18 $$
Esto confirma que en este ejemplo concreto se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
Demostración
Dado \( v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \) y \( v_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \), el producto escalar se define como:
$$ (v_1, v_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 $$
Los módulos de los vectores \( v_1 \) y \( v_2 \) son:
$$ |v_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} $$
$$ |v_2| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} $$
La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que:
$$ |x_1 x_2 + y_1 y_2| \leq \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2} $$
Desde el punto de vista geométrico, esta desigualdad expresa que el valor absoluto del producto escalar entre dos vectores no puede exceder el producto de sus módulos.
Este máximo se alcanza únicamente cuando los vectores son paralelos (o antiparalelos).
En otras palabras, si \( \theta \) es el ángulo que forman los vectores \( v_1 \) y \( v_2 \), entonces el producto escalar se expresa como:
$$ (v_1, v_2) = |v_1||v_2| \cos \theta $$
Como \( |\cos \theta| \leq 1 \), se deduce que:
$$ |(v_1, v_2)| \leq |v_1||v_2| $$
Así se expresa la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
$$ |(v_1, v_2)| \leq |v_1||v_2| $$
Es importante tener en cuenta que no se debe escribir \( (v_1, v_2) \leq |v_1||v_2| \), ya que el producto escalar \( (v_1, v_2) \) puede ser negativo. Por eso, la formulación correcta emplea el valor absoluto: $$ |(v_1, v_2)| \leq |v_1||v_2|. $$
Demostración alternativa
Consideremos dos vectores \( v_1 \) y \( v_2 \) en \( \mathbb{R}^2 \) con componentes:
$$ v_1 = (x_1, y_1) $$
$$ v_2 = (x_2, y_2) $$
Para cualquier número real \( t \), la siguiente expresión es no negativa:
$$ 0 \leq (x_1 + t x_2)^2 + (y_1 + t y_2)^2 $$
Esto es evidente, ya que el cuadrado de cualquier número es siempre mayor o igual que cero.
Por lo tanto, la suma de estos cuadrados es siempre no negativa.
Vamos a desarrollar esta expresión realizando los cálculos algebraicos:
$$ 0 \leq (x_1 + t x_2)^2 + (y_1 + t y_2)^2 $$
$$ 0 \leq x_1^2 + 2t x_1x_2 + t^2x_2^2 + y_1^2 + 2t y_1y_2 + t^2 y_2^2 $$
$$ 0 \leq x_1^2 + y_1^2 + 2t(x_1x_2 + y_1y_2) + t^2(x_2^2 + y_2^2) $$
Observemos que \( x_1^2 + y_1^2 \) es el cuadrado del módulo de \( v_1 \), es decir:
$$ |v_1|^2 = x_1^2 + y_1^2 $$
Y \( x_2^2 + y_2^2 \) es el cuadrado del módulo de \( v_2 \):
$$ |v_2|^2 = x_2^2 + y_2^2 $$
Además, \( x_1x_2 + y_1y_2 \) es el producto escalar \( (v_1, v_2) \).
Por tanto, podemos reescribir la expresión así:
$$ 0 \leq |v_1|^2 + 2t (v_1, v_2) + t^2 |v_2|^2 $$
Si ahora llamamos \( \alpha = |v_2|^2 \), \( \beta = (v_1, v_2) \) y \( \gamma = |v_1|^2 \), obtenemos una ecuación cuadrática:
$$ 0 \leq \alpha t^2 + 2\beta t + \gamma $$
Como este polinomio es no negativo para todo \( t \), su discriminante debe ser menor o igual que cero:
$$ \Delta = 4\beta^2 - 4\alpha \gamma \leq 0 $$
Explicación: Si el discriminante \( \Delta \) fuera positivo, el polinomio \( P(t) = \alpha t^2 + 2 \beta t + \gamma \) tendría dos raíces reales distintas, lo cual implicaría que \( P(t) \) sería negativo en ciertos intervalos. Sin embargo, esto contradice el hecho de que \( P(t) \) es siempre no negativo. La única posibilidad es que el discriminante sea no positivo: \( \Delta \leq 0 \).
Prosigamos con los cálculos:
$$ \Delta = 4\beta^2 - 4\alpha \gamma \leq 0 $$
$$ 4\beta^2 \leq 4\alpha \gamma $$
Dividiendo ambos miembros entre 4:
$$ \beta^2 \leq \alpha \gamma $$
Recordando que \( \beta = (v_1, v_2) \), \( \alpha = |v_2|^2 \), y \( \gamma = |v_1|^2 \), obtenemos:
$$ (v_1, v_2)^2 \leq |v_1|^2 |v_2|^2 $$
Al tomar raíces cuadradas en ambos miembros:
$$ |(v_1, v_2)| \leq |v_1| |v_2| $$
Así queda demostrada la desigualdad de Cauchy-Schwarz en \( \mathbb{R}^2 \).
Y así concluye la demostración.
