Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient deux vecteurs \( v_1 \) et \( v_2 \) dans le plan réel \( \mathbb{R}^2 \). La valeur absolue de leur produit scalaire \( |( v_1, v_2 )| \) est toujours inférieure ou égale au produit de leurs normes \( |v_1||v_2| \) : $$ |( v_1, v_2 )| \le |v_1||v_2| $$
Cette inégalité compte parmi les résultats fondamentaux, aussi bien en algèbre linéaire qu’en analyse.
Exemple concret
Considérons les deux vecteurs suivants dans \( \mathbb{R}^2 \) :
$$ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Leur produit scalaire se calcule de la façon suivante :
$$ (v_1, v_2) = 1 \times 3 + 2 \times 4 = 3 + 8 = 11 $$
Calculons maintenant les normes \( |v_1| \) et \( |v_2| \).
Pour \( v_1 \) :
$$ |v_1| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $$
Pour \( v_2 \) :
$$ |v_2| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$
D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on doit avoir :
$$ |(v_1, v_2)| \leq |v_1||v_2| $$
Ici, \( (v_1, v_2) = 11 \), \( |v_1| = \sqrt{5} \), et \( |v_2| = 5 \).
$$ |11| \leq \sqrt{5} \times 5 $$
$$ 11 \leq 5 \times \sqrt{5} \approx 11,18 $$
Donc :
$$ 11 \leq 11,18 $$
Cet exemple confirme bien l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Démonstration
Soient \( v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \) et \( v_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \). Leur produit scalaire est défini par :
$$ (v_1, v_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 $$
Les normes s’écrivent :
$$ |v_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} $$
$$ |v_2| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} $$
L’inégalité de Cauchy-Schwarz énonce alors :
$$ |x_1 x_2 + y_1 y_2| \leq \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2} $$
D’un point de vue géométrique, cela signifie que la valeur absolue du produit scalaire de deux vecteurs ne peut dépasser le produit de leurs normes.
L’égalité n’a lieu que lorsque les deux vecteurs sont colinéaires (parallèles ou antiparallèles).
En effet, si \( \theta \) est l’angle formé par \( v_1 \) et \( v_2 \), on a :
$$ (v_1, v_2) = |v_1||v_2| \cos \theta $$
Comme \( |\cos \theta| \leq 1 \), on obtient immédiatement :
$$ |(v_1, v_2)| \leq |v_1||v_2| $$
Attention : on ne peut pas écrire \( (v_1, v_2) \leq |v_1||v_2| \), car le produit scalaire peut être négatif. C’est pour cela que la formulation correcte implique la valeur absolue : $$ |(v_1, v_2)| \leq |v_1||v_2|. $$
Autre démonstration
Considérons à nouveau deux vecteurs \( v_1 = (x_1, y_1) \) et \( v_2 = (x_2, y_2) \) dans \( \mathbb{R}^2 \).
Pour tout réel \( t \), on a :
$$ 0 \leq (x_1 + t x_2)^2 + (y_1 + t y_2)^2 $$
Cela est évident, puisque la somme de carrés est toujours positive ou nulle.
Développons :
$$ 0 \leq (x_1 + t x_2)^2 + (y_1 + t y_2)^2 $$
$$ 0 \leq x_1^2 + 2t x_1x_2 + t^2x_2^2 + y_1^2 + 2t y_1y_2 + t^2 y_2^2 $$
$$ 0 \leq x_1^2 + y_1^2 + 2t(x_1x_2 + y_1y_2) + t^2(x_2^2 + y_2^2) $$
Or, \( x_1^2 + y_1^2 = |v_1|^2 \), et \( x_2^2 + y_2^2 = |v_2|^2 \), tandis que \( x_1x_2 + y_1y_2 = (v_1, v_2) \).
L’expression se réécrit donc :
$$ 0 \leq |v_1|^2 + 2t (v_1, v_2) + t^2 |v_2|^2 $$
En posant \( \alpha = |v_2|^2 \), \( \beta = (v_1, v_2) \) et \( \gamma = |v_1|^2 \), on obtient :
$$ 0 \leq \alpha t^2 + 2\beta t + \gamma $$
Comme ce polynôme est toujours non négatif, son discriminant doit être inférieur ou égal à zéro :
$$ \Delta = 4\beta^2 - 4\alpha \gamma \leq 0 $$
Explication : si \( \Delta \) était positif, le polynôme \( P(t) = \alpha t^2 + 2 \beta t + \gamma \) aurait deux racines réelles distinctes, et il prendrait alors des valeurs négatives sur certains intervalles. Cela contredirait l’hypothèse de positivité. La seule possibilité est donc \( \Delta \leq 0 \).
On en déduit :
$$ \Delta = 4\beta^2 - 4\alpha \gamma \leq 0 $$
$$ 4\beta^2 \leq 4\alpha \gamma $$
$$ \beta^2 \leq \alpha \gamma $$
En réintroduisant les notations, cela donne :
$$ (v_1, v_2)^2 \leq |v_1|^2 |v_2|^2 $$
Et en prenant les racines carrées :
$$ |(v_1, v_2)| \leq |v_1||v_2| $$
L’inégalité de Cauchy-Schwarz est ainsi démontrée dans \( \mathbb{R}^2 \).
La preuve est donc complète.
