Matrices équivalentes par lignes
Deux matrices sont dites équivalentes par lignes lorsqu’il est possible de passer de l’une à l’autre au moyen d’une suite finie d’opérations élémentaires effectuées sur leurs lignes. Ces opérations sont :
- Ajouter à une ligne \( R_i \) un multiple scalaire non nul \( k \neq 0 \) d’une autre ligne \( R_j \) (avec \( i \neq j \)) : $$ R_i \leftarrow R_i + k \cdot R_j $$
- Permuter deux lignes quelconques de la matrice : $$ R_i \leftrightarrow R_j $$
Applications : L’équivalence par lignes est un outil central en algèbre linéaire. Elle permet notamment de réduire une matrice en forme échelonnée par lignes, étape déterminante dans la résolution des systèmes linéaires. Elle sert aussi à calculer le rang d’une matrice et, dans certains cas particuliers, à en déduire son déterminant.
Exemple concret
Considérons la matrice :
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \end{pmatrix} $$
Appliquons l’opération élémentaire suivante :
$$ R_3 \leftarrow R_3 - 2 \cdot R_1 $$
Cela signifie que l’on remplace la troisième ligne par elle-même diminuée de deux fois la première ligne.
Remarque : Cette opération peut également s’écrire comme une combinaison linéaire : \( R_3 + (-2) \cdot R_1 \).
On obtient alors :
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2-2 & 6-4 & 8-6 \end{pmatrix} $$
soit, après simplification :
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
On procède ensuite à l’échange des deux dernières lignes :
$$ R_2 \leftrightarrow R_3 $$
On obtient ainsi :
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$
Cette matrice est la forme échelonnée par lignes de la matrice initiale.
Propriétés de l’équivalence par lignes
La relation d’équivalence par lignes possède trois propriétés fondamentales :
- Réflexivité : toute matrice est équivalente par lignes à elle-même : $$ A \sim A $$
- Symétrie : si \( A \sim B \), alors \( B \sim A \) : $$ A \sim B \ \Leftrightarrow\ B \sim A $$
- Transitivité : si \( A \sim B \) et \( B \sim C \), alors \( A \sim C \) : $$ A \sim B,\quad B \sim C \ \Rightarrow\ A \sim C $$
Ces propriétés font de l’équivalence par lignes une véritable relation d’équivalence sur l’ensemble des matrices. Elle constitue le socle théorique de nombreux algorithmes et théorèmes en algèbre linéaire, qu’il s’agisse du calcul du rang, de la résolution des systèmes ou de l’étude structurelle des espaces vectoriels.
