Polygones inscrits dans un cercle

On appelle polygone inscrit dans un cercle un polygone dont tous les sommets appartiennent à un même cercle.

On dit également que le cercle est circonscrit au polygone. Ces deux expressions décrivent donc la même configuration géométrique.

Les côtés d'un polygone inscrit ne sont pas nécessairement de même longueur. Ce qui compte, c'est que tous ses sommets appartiennent au même cercle.

Le centre de ce cercle est appelé centre du cercle circonscrit.

Tous les polygones ne sont pas inscriptibles dans un cercle. Tout triangle non dégénéré, par exemple, admet un cercle circonscrit, tandis que seuls certains quadrilatères sont inscriptibles. En revanche, tout polygone régulier, comme un pentagone régulier ou un hexagone régulier, peut être inscrit dans un cercle.

Dans tout quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, les angles opposés sont supplémentaires. Autrement dit, la somme de leurs mesures est égale à 180° (α + β = 180°).

Critère d'inscriptibilité d'un polygone

Un polygone est inscriptible dans un cercle si et seulement si les médiatrices de ses côtés sont concourantes en un même point. Ce point est le centre du cercle circonscrit.

Ce critère permet de déterminer directement si un polygone donné peut être inscrit dans un cercle. Si les médiatrices de ses côtés ne passent pas toutes par un même point, il n'existe aucun cercle passant par tous ses sommets.

Réciproquement, si un polygone est inscrit dans un cercle, les médiatrices de tous ses côtés passent nécessairement par le centre de ce cercle.

Ce point de concours unique, le centre du cercle circonscrit, existe notamment pour tout triangle non dégénéré, tout polygone régulier et certains polygones irréguliers inscriptibles dans un cercle.

Application pratique

Prenons le cas d'un triangle. Les médiatrices de ses trois côtés sont toujours concourantes en un point unique appelé circoncentre du triangle.

Si l'on trace un cercle de centre E, le circoncentre, et de rayon r égal à la distance entre E et l'un des sommets, ce cercle passe par les trois sommets du triangle.

Démonstration

Considérons maintenant un polygone dont les médiatrices des côtés sont concourantes en un point O.

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Elle forme donc avec lui un angle droit (90°).

Montrons pourquoi cette propriété suffit pour que le polygone puisse être inscrit dans un cercle.

Par définition, la médiatrice d'un segment est le lieu géométrique des points équidistants de ses deux extrémités.

Ainsi, tout point situé sur la médiatrice d'un côté du polygone est à égale distance des deux extrémités de ce côté.

Par exemple, le point P, situé sur la médiatrice du côté AB, est équidistant des sommets A et B.

Le point O appartient simultanément aux médiatrices de tous les côtés. Il est donc équidistant de tous les sommets du polygone.

Autrement dit, la distance d entre le point O et chacun des sommets du polygone est la même.

$$ d = \overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = \overline{OD} = \overline{OE} $$

On peut alors tracer un cercle de centre O et de rayon d. Puisque tous les sommets se trouvent à la même distance d de O, ils appartiennent tous à ce cercle. Celui-ci constitue donc le cercle circonscrit au polygone.

Nous avons ainsi démontré que le polygone est inscrit dans un cercle.

Et ainsi de suite.