Polygones circonscrits à un cercle

Un polygone est dit circonscrit à un cercle lorsque chacun de ses côtés est tangent à ce cercle en un point de contact.

Autrement dit, le cercle est inscrit dans le polygone : il se trouve à l'intérieur du polygone et touche chacun de ses côtés.

Le centre de ce cercle est appelé centre du cercle inscrit, et son rayon rayon du cercle inscrit. Dans le cas particulier d'un triangle, le centre du cercle inscrit porte le nom d'incentre.

Le cercle lui-même est appelé cercle inscrit.

Tous les polygones ne sont pas circonscriptibles à un cercle. Tout triangle, par exemple, possède un cercle inscrit et est donc circonscriptible. Pour un quadrilatère convexe, la situation est différente : il est circonscriptible si et seulement si la somme des longueurs de deux côtés opposés est égale à celle des deux autres côtés opposés. Les polygones réguliers, comme les pentagones, les hexagones, etc., sont quant à eux toujours circonscriptibles à un cercle : tous leurs côtés sont tangents à un même cercle inscrit.

Aire des polygones circonscrits

L'aire d'un polygone circonscrit à un cercle est égale au produit de son demi-périmètre (p) par le rayon (r) du cercle inscrit : $$ A = p \cdot r $$

Cette formule se comprend facilement en décomposant le polygone en triangles ayant tous pour sommet commun le centre du cercle inscrit. La base de chaque triangle correspond à l'un des côtés du polygone, tandis que leur hauteur commune est égale au rayon (r) du cercle inscrit.

La somme des bases de tous ces triangles correspond donc au périmètre (P) du polygone. Comme l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur, la somme des aires des triangles donne directement l'aire du polygone :

$$ A = \frac{P \cdot r}{2} = \frac{P}{2} \cdot r = p \cdot r $$

où P désigne le périmètre et p le demi-périmètre (P = 2p).

Dans un polygone régulier, le rayon (r) du cercle inscrit est également égal à l'apothème (a). L'aire peut donc aussi être calculée à l'aide de la formule :

$$ A = p \cdot a $$

Exemple

Prenons le pentagone régulier circonscrit ci-dessous, dont l'aire est A = 15.48 :

Chaque côté mesure 3 unités et le rayon du cercle inscrit vaut r = 2.06.

Commençons par calculer le demi-périmètre :

$$ p = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 $$

Il suffit ensuite de le multiplier par le rayon du cercle inscrit :

$$ A = p \cdot r = 7.5 \cdot 2.06 = 15.48 $$

On peut vérifier ce résultat d'une autre manière, en décomposant le pentagone en cinq triangles. Pour chacun d'eux, la base correspond à un côté du pentagone et la hauteur au rayon du cercle inscrit. L'aire de chaque triangle est donc égale au produit de la base par la hauteur, divisé par deux :

En additionnant les aires des cinq triangles, on obtient l'aire totale du pentagone :

$$ A = 5 \cdot \frac{3 \cdot 2.06}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2} \cdot 2.06 $$

On retrouve bien le même résultat :

$$ A \cong 15.48 $$

Cette méthode s'applique à tout polygone régulier, puisque tout polygone régulier est circonscriptible à un cercle.

Condition de circonscriptibilité d'un polygone

Un polygone convexe est circonscriptible à un cercle si et seulement si les bissectrices intérieures de tous ses angles sont concourantes en un même point. Ce point est le centre du cercle inscrit.

Si les bissectrices intérieures ne se rencontrent pas toutes en un même point, il n'existe aucun cercle tangent à tous les côtés du polygone. Celui-ci n'est donc pas circonscriptible.

Réciproquement, si un polygone convexe est circonscrit à un cercle, les bissectrices intérieures de tous ses angles passent par le centre du cercle inscrit et sont donc concourantes en ce point.

Dans tout triangle et dans tout polygone régulier, les bissectrices intérieures sont concourantes en un même point. Dans un triangle, ce point est appelé incentre. Parmi les polygones irréguliers, seuls certains possèdent cette propriété et sont donc circonscriptibles à un cercle.

Exemple pratique

Le triangle constitue le cas le plus simple. Dans tout triangle, les trois bissectrices intérieures se rencontrent toujours en un même point : l'incentre.

En traçant un cercle de centre I et de rayon approprié (r), on obtient alors un cercle tangent aux trois côtés du triangle :

Démonstration du théorème

Pour comprendre pourquoi cette propriété est vraie, considérons un polygone convexe dont toutes les bissectrices intérieures sont concourantes en un même point O :

La bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Montrons qu'il est alors possible de tracer un cercle tangent à tous les côtés du polygone.

Pour cela, utilisons une propriété fondamentale de la bissectrice : tout point situé sur la bissectrice d'un angle est équidistant des deux côtés de cet angle. Réciproquement, tout point intérieur à un angle et équidistant de ses deux côtés appartient à sa bissectrice :

Puisque O appartient à la bissectrice intérieure de chacun des angles du polygone, ses distances aux deux côtés qui forment chaque angle sont égales. De proche en proche, on en déduit que O est équidistant de tous les côtés du polygone :

On peut donc tracer un cercle de centre O et de rayon d, où d représente la distance de O à chacun des côtés. Ce cercle est tangent à tous les côtés du polygone :

$$ \text{cercle inscrit} $$

Nous avons ainsi montré que le polygone est circonscrit à un cercle :

La propriété est donc démontrée.