Ograničeni skupovi u metričkim prostorima

U metričkom prostoru \((X, d)\), gde funkcija \(d\) određuje rastojanje između tačaka, podskup \(A \subseteq X\) naziva se ograničenim ako postoji strogo pozitivan realan broj \(\mu > 0\) takav da za svaki par tačaka \(x, y \in A\) važi:

$$ d(x, y) \leq \mu $$

Drugim rečima, sve tačke skupa \(A\) ostaju unutar oblasti čiji prečnik ne prelazi određenu konačnu vrednost.

Ako je i sam prostor \(X\) ograničen u odnosu na metriku \(d\), tada kažemo da je \(d\) ograničena metrika.

To znači da postoji konstanta \(\mu\) takva da je rastojanje između bilo koje dve tačke prostora \(X\) uvek manje ili jednako toj vrednosti.

Napomena : Ako je metrika \(d\) ograničena, tada je automatski ograničen i svaki podskup prostora \(X\), jer rastojanja između njegovih elemenata ne mogu biti veća od rastojanja definisanih na celom prostoru.

Jedan konkretan primer

Posmatrajmo Dekartovu ravan \(\mathbb{R}^2\) sa standardnom euklidskom metrikom.

Rastojanje između dve tačke \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) određeno je formulom:

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Neka je sada podskup \(A \subseteq \mathbb{R}^2\) sastavljen od svih tačaka \((x, y)\) koje se nalaze unutar diska poluprečnika \(10\) sa centrom u koordinatnom početku, uključujući i njegovu granicu:

$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$

Skup \(A\) je ograničen ako postoji konstanta \(\mu > 0\) takva da za svaki par tačaka \((x_1, y_1), (x_2, y_2) \in A\) važi:

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) \leq \mu $$

Najveće moguće rastojanje između dve tačke skupa \(A\) dobija se kada se one nalaze na suprotnim krajevima jednog prečnika, na primer u tačkama \((10, 0)\) i \((-10, 0)\).

U tom slučaju:

$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{400} = 20 $$

Prema tome, bez obzira koje dve tačke izaberemo unutar diska, njihovo međusobno rastojanje nikada ne prelazi \(20\).

Zato zaključujemo da je skup \(A\) ograničen, pri čemu možemo uzeti \(\mu = 20\), jer su svi njegovi elementi sadržani u oblasti konačnog prečnika.

Ograničenost metrike ne menja topologiju

Važno je razumeti da činjenica da je neka metrika ograničena ili neograničena nema nikakav uticaj na topologiju koju ta metrika indukuje, odnosno na strukturu otvorenih i zatvorenih skupova.

Šta je topologija? Topologija predstavlja matematički okvir koji omogućava rigorozno definisanje otvorenih i zatvorenih skupova. Ona zavisi od strukture prostora i odnosa među njegovim tačkama, a ne od konkretnih numeričkih vrednosti koje rastojanja mogu da poprime.

To znači da čak i kada neka metrika nije ograničena, moguće je konstruisati drugu metriku koja jeste ograničena, ali koja indukuje potpuno istu topologiju.

Drugim rečima, ograničenost metrike ne utiče na topološka svojstva prostora.

Primer

Iz neograničene metrike možemo dobiti ograničenu metriku pomoću transformacije koja "sažima" velika rastojanja, a pritom zadržava istu topologiju.

Jedan od najčešće korišćenih postupaka zasniva se na transformaciji:

$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$

Kakav efekat ima ova transformacija?

Kada je \(d(x, y)\) malo, tada je i \(d'(x, y)\) veoma blisko početnoj vrednosti.

Na primer, ako je:

$$ d(x, y) = 1 $$

dobijamo:

$$ d'(x, y) = \frac{1}{1 + 1} = 0{,}5 $$

Međutim, kada \(d(x, y)\) postaje veoma veliko i teži beskonačnosti, tada \(d'(x, y)\) teži vrednosti \(1\).

Na taj način sva rastojanja bivaju preslikana u interval \([0,1)\), bez promene topološke strukture prostora.

Posmatrajmo sada konkretan primer metričkog prostora \((X, d)\) sa standardnim rastojanjem:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Ova metrika nije ograničena.

Nakon primene prethodne transformacije dobijamo novu metriku:

$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$

Ako je \(x = 1\) i \(y = 2\), tada je:

$$ d'(1, 2) = \frac{1}{1 + 1} = 0{,}5 $$

Ako je \(x = 1\) i \(y = 1000\), tada dobijamo:

$$ d'(1, 1000) = \frac{999}{1 + 999} = 0{,}999 $$

U svim slučajevima rastojanja ostaju strogo manja od \(1\), dok topologija prostora ostaje potpuno ista kao kod početne metrike.

Zbog toga se otvoreni i zatvoreni skupovi definisani pomoću metrika \(d\) i \(d'\) u potpunosti poklapaju.

I tako dalje...