Ekvivalentnost metrika
Dva metrička prostora smatraju se ekvivalentnim ako postoji preslikavanje \(f : X \to Y\) koje zadovoljava dva osnovna uslova:
- Bijektivnost : svakom elementu prostora \(X\) odgovara tačno jedan element prostora \(Y\), i obrnuto.
- Izometrija : udaljenosti između tačaka ostaju potpuno iste nakon preslikavanja. Drugim riječima, za svaka \(x_1, x_2 \in X\) važi: $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$
Kada takvo preslikavanje postoji, kaže se da su prostori \(X\) i \(Y\) izometrični, odnosno metrički ekvivalentni.
Ekvivalentnost metrika koristi se za poređenje metričkih prostora \((X, d_X)\) i \((Y, d_Y)\) kako bi se utvrdilo da li su, sa stanovišta udaljenosti između tačaka, u suštini isti prostor.
Intuitivno gledano, dva prostora mogu izgledati različito, ali ako se sve udaljenosti između tačaka savršeno očuvaju, tada su oni metrički ekvivalentni.
- Ako su dva metrička prostora izometrična, onda imaju istu topologiju, odnosno iste otvorene skupove i istu globalnu strukturu prostora.
- Međutim, obrnuto ne mora važiti. Dva prostora mogu imati istu topologiju, a da ipak nisu izometrična.
- Razlog je u tome što je izometrija mnogo stroži uslov od topološke ekvivalencije, jer zahtijeva potpuno očuvanje svih udaljenosti, a ne samo očuvanje strukture otvorenih skupova.
Konkretan primjer
Posmatrajmo dva metrička prostora:
- \(X = \{a, b, c\}\), sa metrikom \(d_X\): $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
- \(Y = \{p, q, r\}\), sa metrikom \(d_Y\): $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$
Definišimo preslikavanje:
$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$
Sada provjerimo da li su udaljenosti očuvane:
- \(d_X(a, b) = 1\), a \(d_Y(f(a), f(b)) = d_Y(p, q) = 1\)
- \(d_X(b, c) = 2\), a \(d_Y(f(b), f(c)) = d_Y(q, r) = 2\)
- \(d_X(a, c) = 3\), a \(d_Y(f(a), f(c)) = d_Y(p, r) = 3\)
Pošto su sve udaljenosti potpuno očuvane, preslikavanje \(f\) predstavlja izometriju. Zbog toga su prostori \(X\) i \(Y\) izometrični, odnosno metrički ekvivalentni.
Taksi metrika i euklidska metrika
U ravni, taksi metrika (\(d_T\)) i standardna euklidska metrika (\(d\)) indukuju istu topologiju. To znači da generišu iste otvorene skupove.
Ali da li su te dvije metrike izometrične?
Kod taksi metrike udaljenost između tačaka \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) definiše se formulom:
$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$
Ova metrika mjeri udaljenost prateći horizontalna i vertikalna kretanja, slično vožnji kroz mrežu gradskih ulica.
Euklidska metrika, s druge strane, mjeri najkraću udaljenost između dvije tačke:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$
Pogledajmo primjer sa tačkama \(A = (1, 1)\) i \(B = (2, 2)\).
Prema taksi metrici:
$$ d_T((2, 2), (1, 1)) = |2 - 1| + |2 - 1| = 2 $$
Prema euklidskoj metrici:
$$ d((1, 1), (2, 2)) = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 $$
Pošto su udaljenosti različite, ne može postojati izometrija koja bi istovremeno očuvala obje metrike.
Zbog toga ravan sa taksi metrikom nije izometrična ravni sa euklidskom metrikom.
Drugim riječima, dvije metrike mogu indukovati istu topologiju, a da ipak ne budu metrički ekvivalentne.
I tako dalje.
