Metrizabilni topološki prostor
Metrizabilni topološki prostor je topološki prostor \( X \) za koji postoji metrika \( d \) koja indukuje upravo topologiju prostora \( X \).
Drugim rečima, topologija prostora može se u potpunosti opisati pomoću pojma rastojanja između tačaka.
Metrika \( d \) na skupu \( X \) predstavlja funkciju \( d : X \times X \to [0, \infty) \) koja zadovoljava nekoliko osnovnih uslova:
- rastojanje je uvek nenegativno
- rastojanje između \( x \) i \( y \) jednako je rastojanju između \( y \) i \( x \)
- važi trougaona nejednakost
- \( d(x,y)=0 \) ako i samo ako je \( x=y \)
Iz date metrike dobija se odgovarajuća topologija tako što se otvoreni skupovi definišu pomoću otvorenih kugli oblika
$$ B_r(x) = \{ y \in X : d(x,y) < r \} $$
gde je \( x \) centar kugle, a \( r > 0 \) njen poluprečnik.
Ako otvorene kugle generišu upravo datu topologiju prostora, tada kažemo da je prostor metrizabilan.
Napomena : To znači da se svaki otvoreni skup može zapisati kao unija otvorenih kugli definisanih metrikom.
Nisu svi topološki prostori metrizabilni. Na primer, nehausdorfove topologije ne mogu biti indukovane metrikom.
Primer: realna prava
Posmatrajmo skup realnih brojeva \( \mathbb{R} \) sa njegovom standardnom topologijom.
U toj topologiji otvoreni skupovi predstavljaju proizvoljne unije otvorenih intervala \( (a,b) \).
Na skupu \( \mathbb{R} \) definišemo standardnu metriku:
$$ d(x,y)=|x-y| $$
odnosno apsolutnu vrednost razlike između brojeva \( x \) i \( y \).
Otvorena kugla sa centrom u tački \( x \) i poluprečnikom \( r \) tada ima oblik:
$$ B_r(x)=\{ y \in \mathbb{R} : d(x,y)<r \}=(x-r,x+r) $$
Vidimo da otvorene kugle odgovaraju upravo otvorenim intervalima standardne topologije.
Pošto svaki otvoreni skup u \( \mathbb{R} \) može biti predstavljen kao unija takvih intervala, zaključujemo da je realna prava metrizabilni topološki prostor.
Primer: diskretna topologija
Posmatrajmo sada proizvoljan skup \( X \), konačan ili beskonačan, opremljen diskretnom topologijom.
U diskretnoj topologiji svaki podskup skupa \( X \) je otvoren.
Definišemo metriku:
$$ d(x,y)=
\begin{cases}
0 & \text{ako je } x=y \\
1 & \text{ako je } x \neq y
\end{cases}
$$
Ova metrika naziva se diskretna metrika.
Pogledajmo kako izgledaju otvorene kugle.
- Ako je \( r \leq 1 \), tada je
$$ B_r(x)=\{x\} $$
Objašnjenje : U ovom slučaju uslov \( d(x,y)<r \) moguć je samo kada je \( d(x,y)=0 \), odnosno kada je \( y=x \).
- Ako je \( r > 1 \), tada je
$$ B_r(x)=X $$
Objašnjenje : Kada je \( r>1 \), i slučaj \( d(x,y)=0 \) i slučaj \( d(x,y)=1 \) zadovoljavaju uslov \( d(x,y)<r \). Zato otvorena kugla sadrži sve elemente skupa \( X \).
Pošto su skupovi \( \{x\} \) i \( X \) otvoreni u diskretnoj topologiji, a svaki otvoreni skup može se zapisati kao unija ovakvih kugli, zaključujemo da je i diskretni prostor metrizabilan.
U ovom primeru metrika veoma precizno odražava topološku strukturu prostora.
Važne osobine metrizabilnih prostora
- Metrizabilnost se čuva pri homeomorfizmima
Ako je prostor \( X \) metrizabilan, a prostor \( Y \) homeomorfan prostoru \( X \), tada je i \( Y \) metrizabilan. Dakle, metrizabilnost predstavlja topološko svojstvo. - Urysohnova teorema o metrizaciji
Topološki prostor je metrizabilan ako je regularan i poseduje prebrojivu bazu. Ova teorema daje jedan od najvažnijih kriterijuma za određivanje da li se neka topologija može opisati pomoću metrike.
