Metrizabilnost topoloških prostora i homeomorfizmi
Ako je topološki prostor \( X \) metrizabilan i ako je prostor \( Y \) homeomorfan prostoru \( X \), tada je i prostor \( Y \) metrizabilan.
Drugim rečima, metrizabilnost je topološko svojstvo koje se čuva pri homeomorfizmima.
To znači da svaki prostor koji je topološki ekvivalentan metrizabilnom prostoru takođe mora biti metrizabilan.
Zbog toga, kada već znamo da je neki prostor \( X \) metrizabilan i naiđemo na prostor \( Y \) koji je homeomorfan sa \( X \), nije potrebno posebno konstruisati metriku na prostoru \( Y \) : odmah možemo zaključiti da je i \( Y \) metrizabilan.
Zašto je to važno?
U topologiji se često ne proučavaju konkretna rastojanja između tačaka, već sama struktura prostora i način na koji su njegove tačke međusobno povezane.
Metrizabilnost je posebno značajna zato što omogućava da se topološki prostor opisuje pomoću metrike, odnosno funkcije rastojanja. Kada prostor poseduje metriku kompatibilnu sa svojom topologijom, mnogi pojmovi postaju intuitivniji i lakši za analizu, kao što su konvergencija nizova, neprekidnost ili otvoreni skupovi.
Sa druge strane, homeomorfizam predstavlja najvažniji pojam ekvivalencije u topologiji. Dva prostora su homeomorfna ako između njih postoji bijektivno i neprekidno preslikavanje čije je inverzno preslikavanje takođe neprekidno. U tom slučaju oba prostora imaju istu topološku strukturu, čak i ako izgledaju različito sa geometrijskog stanovišta.
Zbog toga se metrizabilnost prenosi preko homeomorfizama. Ako jedan prostor može da se opiše pomoću metrike, onda isto važi i za svaki prostor koji mu je topološki ekvivalentan.
Objašnjenje
Pretpostavimo da prostor \( X \) poseduje metriku \( d \) koja indukuje njegovu topologiju. Ako postoji homeomorfizam između prostora \( X \) i prostora \( Y \), tada se topološka struktura prostora \( X \) prenosi na prostor \( Y \).
To praktično znači da se na prostoru \( Y \) može definisati metrika kompatibilna sa njegovom topologijom. Takva metrika prirodno se dobija polazeći od metrike definisane na prostoru \( X \).
Prema tome, metrizabilnost je invarijantna osobina u odnosu na homeomorfizme : svaki prostor homeomorfan metrizabilnom prostoru nužno je i sam metrizabilan.
Primer
Posmatrajmo realnu pravu \( \mathbb{R} \) sa standardnom topologijom indukovanom euklidskom metrikom i otvoreni interval \( (-1,1) \).
Poznato je da je prostor \( \mathbb{R} \) metrizabilan standardnom metrikom
\[ d(x,y)=|x-y| \]
Definišimo funkciju
\[ f : \mathbb{R} \to (-1,1) \]
na sledeći način:
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \]
Ova funkcija predstavlja homeomorfizam između prostora \( \mathbb{R} \) i intervala \( (-1,1) \). Preslikavanje je neprekidno, bijektivno, a i njegovo inverzno preslikavanje je takođe neprekidno.
Drugim rečima, funkcija \( f \) uspostavlja potpunu topološku ekvivalenciju između ova dva prostora.
Pošto je \( \mathbb{R} \) metrizabilan, iz činjenice da su \( \mathbb{R} \) i \( (-1,1) \) homeomorfni odmah sledi da je i interval \( (-1,1) \) metrizabilan.
U ovom konkretnom slučaju interval \( (-1,1) \) može se posmatrati sa euklidskom metrikom ograničenom upravo na taj interval.
Isto rezonovanje može se primeniti na bilo koji par homeomorfnih prostora.
