Metrička topologija

Metrička topologija na prostoru $ X $ generisana je bazom koju čine otvorene kugle definisane pomoću metrike $ d $ na skupu $ X $. Naziva se i topologija indukovana metrikom $ d $.

U matematici se metrička topologija koristi za opisivanje pojma blizine između tačaka u nekom prostoru. Polazi se od metrike, odnosno funkcije koja meri rastojanje između elemenata skupa, a zatim se pomoću nje definišu otvoreni skupovi i topološka struktura prostora.

U metričkom prostoru $ (X, d) $, gde metrika $ d $ određuje rastojanje između tačaka skupa $ X $, topologija se gradi pomoću otvorenih kugli.

Otvorena kugla sa centrom u tački $ x \in X $ i poluprečnikom $ \varepsilon > 0 $ jeste skup svih tačaka $ y \in X $ čije je rastojanje od tačke $ x $ strogo manje od $ \varepsilon $:

$$ B_d(x, \varepsilon) = \{y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon\}. $$

U metričkoj topologiji skup je otvoren ako može da se predstavi kao unija otvorenih kugli, čak i kada je ta unija beskonačna.

Drugim rečima, skup $ U \subset X $ otvoren je u topologiji indukovanoj metrikom $ d $ ako za svaku tačku $ y \in U $ postoji poluprečnik $ \delta > 0 $ takav da je kugla $ B_d(y, \delta) $ u potpunosti sadržana u skupu $ U $.

Jedan konkretan primer
Otvoreni skupovi u metričkoj topologiji
Vrste metrika
Dodatne napomene

Jedan konkretan primer

Posmatrajmo realnu pravu $\mathbb{R}$ kao jednodimenzionalni euklidski prostor opremljen standardnom euklidskom metrikom.

Skup $\mathbb{R}$ sadrži sve realne brojeve, a rastojanje između dve tačke $x$ i $y$ dato je formulom:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

gde $|x - y|$ označava apsolutnu vrednost razlike između brojeva $x$ i $y$.

Ova funkcija zadovoljava sva svojstva potrebna za definisanje metrike i predstavlja najjednostavniji primer metričkog prostora.

Pomoću ove metrike mogu se konstruisati otvorene kugle u prostoru $\mathbb{R}$.

Na primer, uzmimo tačku $x = 3$ i poluprečnik $\varepsilon = 1$.

Otvorena kugla sa centrom u tački $x = 3$ i poluprečnikom $1$ jeste:

$$ B_d(3, 1) = \{y \in \mathbb{R} \mid d(3, y) < 1\} = \{y \in \mathbb{R} \mid |3 - y| < 1\} $$

Rešavanjem nejednakosti $ |3 - y| < 1 $ dobija se:

$$ 2 < y < 4 $$

Prema tome:

$$ B_d(3, 1) = (2, 4) $$

Otvorena kugla sa centrom u tački $3$ i poluprečnikom $1$ zato odgovara otvorenom intervalu $(2, 4)$ na realnoj pravoj.

primer metričke topologije na realnoj pravoj

Skupovi kao što su $ (2, 4) $, $ (5, 7) $, ili opštije bilo koji otvoreni interval $(a, b)$ u $\mathbb{R}$, mogu se posmatrati kao otvorene kugle ili kao unije otvorenih kugli povezanih sa metrikom $d(x, y) = |x - y|$.

otvoreni skupovi u metričkoj topologiji

Ovi intervali čine bazu metričke topologije na $\mathbb{R}$.

Napomena. U metričkoj topologiji na $\mathbb{R}$, skup je otvoren ako se za svaku njegovu tačku može pronaći otvoreni interval, odnosno otvorena kugla, koji je u potpunosti sadržan u tom skupu. Na primer, skup $(0, 5)$ je otvoren jer se oko svake njegove tačke može konstruisati mali otvoreni interval koji ostaje potpuno unutar skupa.

Drugim rečima, metrika $d(x, y) = |x - y|$ na $\mathbb{R}$ generiše standardnu topologiju otvorenih intervala, poznatu kao metrička topologija realne prave.

Otvoreni skupovi u metričkoj topologiji

U metričkoj topologiji, podskup $ U \subset X $ naziva se otvorenim ako za svaku tačku $ y \in U $ postoji otvorena kugla sa centrom u $ y $, odnosno okolina poluprečnika $\delta$, koja je u potpunosti sadržana u skupu $ U $.

Intuitivno, to znači da svaka tačka otvorenog skupa ima dovoljno „prostora” oko sebe da se može pomeriti u svim pravcima za malu udaljenost, a da se pritom ne izađe iz skupa.

U ravni je ta okolina disk, dok je u trodimenzionalnom prostoru kugla. U prostorima više dimenzije pojam ostaje isti, iako geometrijska predstava postaje teža za vizualizaciju.

Upravo ovo lokalno svojstvo razlikuje otvorene skupove od ostalih podskupova prostora.

Ispod je prikazan primer otvorenog skupa u metričkom prostoru $ \mathbb{R}^2 $.

primer otvorenog skupa u metričkom prostoru

Nasuprot tome, zatvoreni skupovi sadrže sve svoje granične tačke.

primer zatvorenog skupa u metričkom prostoru

Granica zatvorenog skupa pripada samom skupu, dok kod otvorenog skupa granične tačke nisu uključene.

Vrste metrika

Topologije indukovane metrikama mogu se konstruisati pomoću različitih pojmova rastojanja, a ne samo pomoću standardne euklidske metrike.

Na ravni $ \mathbb{R}^2 $ najčešće se koriste sledeće metrike:

Euklidska metrika
Ovo je standardna metrika zasnovana na klasičnom pojmu rastojanja u geometriji. Otvorene kugle imaju kružni oblik. $$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$
Taksi metrika ili Menhetn metrika
Rastojanje se računa kao zbir horizontalnih i vertikalnih pomeranja, slično kretanju ulicama u mreži gradskih blokova. Otvorene kugle imaju oblik romba. $$ d_T(p, q) = |p_1 - q_1| + |p_2 - q_2|. $$
Metrika maksimuma
U ovoj metrici rastojanje određuje najveća razlika između odgovarajućih koordinata dve tačke. Otvorene kugle imaju oblik kvadrata. $$ d_M(p, q) = \max\{|p_1 - q_1|, |p_2 - q_2|\} $$

Iako ove metrike proizvode otvorene kugle različitih geometrijskih oblika, sve one indukuju istu topologiju na prostoru $ \mathbb{R}^2 $.

Dodatne napomene

Metričke topologije imaju brojna važna svojstva i predstavljaju osnovu savremene analize i topologije.

Teorema o poređenju metričkih topologija
Neka su $d$ i $d'$ dve metrike definisane na istom skupu $X$, koje indukuju topologije $\mathcal{T}$ i $\mathcal{T}'$. Kaže se da je $\mathcal{T}'$ finija od $\mathcal{T}$ ako za svako $x \in X$ i svako $\varepsilon > 0$ postoji $\delta > 0$ takvo da važi: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ gde $B_{d}(x, \varepsilon)$ i $B_{d'}(x, \delta)$ označavaju otvorene kugle sa centrom u tački $x$ u odnosu na metrike $d$ i $d'$.
Jednostavnije rečeno, topologija $\mathcal{T}'$ finija je od topologije $\mathcal{T}$ ako svaki otvoreni skup definisan metrikom $d$ sadrži otvoreni skup definisan metrikom $d'$.
Teorema o ograničenoj metrici
U metričkom prostoru $ (X, d) $ može se definisati nova ograničena metrika: $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ gde je $\varepsilon > 0$. Ova metrika indukuje istu topologiju kao i originalna metrika $ d $, što znači da obe definišu iste otvorene skupove.