Teorem o ograničenoj metrici
U metričkom prostoru \( (X, d) \) moguće je definisati novu metriku koja je ograničena, ali koja ipak zadržava potpuno istu topologiju kao originalna metrika \( d \). Ta nova metrika definiše se formulom
$$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$
Drugim riječima, sve udaljenosti manje od \(1\) ostaju nepromijenjene, dok se svaka udaljenost veća od \(1\) „skraćuje" upravo na vrijednost \(1\).
Na taj način dobija se ograničena metrika, jer nijedna udaljenost više ne može preći vrijednost \(1\). Ipak, uprkos toj izmjeni, otvoreni skupovi ostaju isti. Zato metrike \( d \) i \( d' \) induciraju potpuno istu topologiju.
Napomena: Umjesto broja \(1\), može se koristiti bilo koji broj \(\varepsilon > 0\): $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ U tom slučaju sve udaljenosti ostaju ograničene brojem \(\varepsilon\), ali topologija prostora se ne mijenja. Radi jednostavnosti, u nastavku ćemo koristiti slučaj \(\varepsilon = 1\).
Kako funkcioniše ograničena metrika?
Posmatrajmo realnu pravu \( \mathbb{R} \) sa standardnom metrikom
$$ d(x, y) = |x - y| $$
Sada definišimo novu metriku:
$$ d'(x, y) = \min(|x - y|, 1) $$
Ova definicija znači da nijedna udaljenost ne može biti veća od \(1\).
Ako su, na primjer, \( x = 2 \) i \( y = 5 \), tada je standardna udaljenost jednaka \( d(2,5)=3 \). Međutim, za ograničenu metriku dobijamo: $$ d'(2,5)=\min(3,1)=1 $$
Ako su \( x = 2 \) i \( y = 2.5 \), tada je udaljenost manja od \(1\), pa ostaje nepromijenjena: $$ d'(2,2.5)=\min(0.5,1)=0.5 $$ U ovom slučaju vrijedi \( d=d' \).
To možemo pregledno prikazati u tabeli:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$
Metrika \( d' \) dakle „odsijeca" velike udaljenosti, ali ne mijenja lokalni pojam blizine između tačaka. Upravo zbog toga topologija prostora ostaje ista.
Zašto topologija ostaje nepromijenjena?
U metričkoj topologiji otvoreni skupovi grade se pomoću otvorenih kugli.
Iako su kugle za metriku \( d' \) manje zbog ograničenja na \(1\), pomoću njihovih unija i dalje možemo rekonstruisati iste otvorene skupove kao i kod početne metrike \( d \).
Na primjer, posmatrajmo otvorenu kuglu
$$ B_d(3,2) $$
u standardnoj metrici na \( \mathbb{R} \).
Po definiciji:
$$ B_d(3,2)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(3,y)<2\} $$
Kako je \( d(x,y)=|x-y| \), dobijamo:
$$ |3-y|<2 $$
što daje:
$$ 1<y<5 $$
Prema tome:
$$ B_d(3,2)=(1,5) $$
Radi se o otvorenom intervalu dužine \(4\), centriranom oko tačke \(3\).
Sada pokušajmo isti skup dobiti pomoću metrike \( d' \).
Dovoljno je uzeti uniju dvije manje kugle:
$$ B_{d'}(2,1)\cup B_{d'}(3,1) $$
Prva pokriva interval \( (1,3) \), a druga interval \( (2,4) \). Njihova unija zajedno pokriva otvoreni skup \( (1,5) \).
Ovaj primjer pokazuje osnovnu ideju teorema: iako ograničena metrika mijenja velike udaljenosti, ona ne mijenja strukturu otvorenih skupova.
Dokaz teorema
Da bismo dokazali teorem, prvo treba provjeriti da je \( d' \) zaista metrika.
Potrebno je pokazati da vrijede osnovni aksiomi:
- \( d'(x,y)\geq0 \),
- \( d'(x,y)=0 \iff x=y \),
- \( d'(x,y)=d'(y,x) \),
- trougaona nejednakost.
Trougaona nejednakost dokazuje se razmatranjem dva slučaja.
- Ako je \( d(x,y)\geq1 \) ili \( d(y,z)\geq1 \), tada vrijedi \( d'(x,y)+d'(y,z)\leq2 \). Budući da je uvijek \( d'(x,z)\leq1 \), slijedi: $$ d'(x,z)\leq d'(x,y)+d'(y,z) $$
- Ako su \( d(x,y)<1 \) i \( d(y,z)<1 \), tada se \( d' \) poklapa s originalnom metrikom \( d \). Pošto \( d \) već zadovoljava trougaonu nejednakost, ista osobina vrijedi i za \( d' \).
Nakon što smo pokazali da je \( d' \) metrika, ostaje dokazati da ona inducira istu topologiju kao \( d \).
Neka su \( T \) i \( T' \) topologije inducirane metrikama \( d \) i \( d' \). Dovoljno je dokazati dvije inkluzije:
- \( T\subseteq T' \),
- \( T'\subseteq T \).
A) Dokaz inkluzije \( T\subseteq T' \)
Ako je \( r\leq1 \), tada vrijedi:
$$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r) $$
Ako je \( r>1 \), tada je:
$$ B_{d'}(x,r)\subseteq B_d(x,r) $$
Zato je svaka otvorena kugla metrike \( d' \) otvorena i u topologiji metrike \( d \).
B) Dokaz inkluzije \( T'\subseteq T \)
Obrnuta inkluzija dobija se na isti način.
Kada je \( r\leq1 \), kugle su identične:
$$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r) $$
Kada je \( r>1 \), svaka kugla metrike \( d \) može se prekriti unijom kugli metrike \( d' \) poluprečnika manjeg ili jednakog \(1\):
$$ B_d(x,r)=\bigcup_i B_{d'}(x_i,\varepsilon) $$
gdje je \( \varepsilon\leq1 \).
Zaključak
Pošto svaka od dvije topologije sadrži drugu, slijedi:
$$ T=T' $$
Prema tome, ograničena metrika \( d' \) i originalna metrika \( d \) induciraju potpuno istu topološku strukturu prostora \( X \).
