Udaljenost između skupova

Udaljenost između dva skupa $A$ i $B$, u metričkom prostoru $(X, d)$, definiše se kao najmanja moguća udaljenost između jedne tačke skupa $A$ i jedne tačke skupa $B$:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A \ , \ b \in B \} $$

Ovde $d(a, b)$ označava udaljenost između tačaka $a$ i $b$ prema metrici $d$, dok $\inf$ predstavlja infimum, odnosno najveću donju granicu skupa svih tih udaljenosti.

Da bismo odredili udaljenost između dva skupa, posmatramo sve moguće parove tačaka, pri čemu jedna tačka pripada skupu $A$, a druga skupu $B$. Zatim tražimo najmanju vrednost kojoj njihove međusobne udaljenosti mogu težiti.

Drugim rečima, udaljenost između skupova opisuje koliko elementi dva skupa mogu biti blizu jedni drugima.

Napomena: Dva skupa mogu imati veoma malu, pa čak i nultu udaljenost, a da pritom nemaju nijednu zajedničku tačku.

Kada je udaljenost jednaka nuli?
Primeri

Kada je udaljenost jednaka nuli?

Ako je $d(A, B) = 0$, to znači da postoje tačke iz skupova $A$ i $B$ koje mogu biti proizvoljno blizu jedna drugoj.

Međutim, to ne znači nužno da se skupovi dodiruju ili presecaju.

Zbog toga je moguće da dva disjunktna skupa imaju nultu udaljenost:

$$ A \cap B = \emptyset $$

Ova situacija je veoma važna u matematičkoj analizi i topologiji, jer pokazuje da bliskost skupova ne zavisi isključivo od toga da li imaju zajedničke elemente.

Primeri

Posmatrajmo skupove na realnoj pravoj sa uobičajenom metrikom:

$$ d(x_1, x_2) = |x_1 - x_2| $$

A] Izolovana tačka i interval

Neka je:

$$ A = \{0\}, \qquad B = [1,2] $$

U ovom slučaju udaljenost između skupova iznosi:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a,b) \mid a \in A, b \in B \} = d(0,1)=1 $$

Najbliža tačka skupa $B$ tački $0$ jeste tačka $1$, pa je minimalna udaljenost jednaka $1$.

udaljenost između izolovane tačke i zatvorenog intervala

B] Dva intervala koja imaju zajedničku tačku

Neka je:

$$ A = [0,1], \qquad B = [1,2] $$

Tada važi:

$$ d(A, B) = d(1,1)=0 $$

Skupovi dele zajedničku tačku $1$, pa je njihova udaljenost jednaka nuli.

zatvoreni intervali koji se presecaju u jednoj tački

Zaista:

$$ A \cap B = \{1\} $$

C] Dva otvorena intervala bez zajedničkih tačaka

Sada posmatrajmo:

$$ A = (0,1), \qquad B = (1,2) $$

Iako skupovi nemaju nijednu zajedničku tačku, njihova udaljenost je i dalje jednaka nuli:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a,b) \mid a \in A, b \in B \} = 0 $$

Zašto?

Zato što možemo izabrati tačke iz $A$ i $B$ proizvoljno blizu tački $1$, a da tačka $1$ nikada ne pripadne nijednom od skupova.

Na primer:

$$ a = 0.999999, \qquad b = 1.000001 $$

Tada je:

$$ |a-b| = 0.000002 $$

i ta razlika može postati još manja.

otvoreni intervali koji se ne dodiruju ali imaju udaljenost jednaku nuli

Drugim rečima, elementi skupa $A$ mogu se beskonačno približavati broju $1$ sleva, dok se elementi skupa $B$ mogu približavati istom broju zdesna.

Ipak, pošto su intervali otvoreni, broj $1$ ne pripada nijednom od njih.

Zbog toga važi:

$$ A \cap B = \emptyset $$

ali istovremeno:

$$ d(A,B)=0 $$

Ovaj primer jasno pokazuje da nulta udaljenost između skupova ne znači nužno da oni imaju zajedničke elemente.

Napomena: U matematici udaljenost između skupova meri mogućnost međusobnog približavanja njihovih elemenata, a ne nužno postojanje preseka između skupova.

I tako dalje.