Metrički prostor

Šta je metrički prostor?

Metrički prostor je matematička struktura koja omogućava definisanje i merenje rastojanja između elemenata nekog skupa.

Formalno, metrički prostor je uređeni par \( (X, d) \), gde je:

• \( X \) skup elemenata
• \( d \) funkcija, nazvana metrika, koja svakom paru tačaka \( x, y \in X \) pridružuje nenegativan realan broj \( d(x, y) \)

Broj \( d(x, y) \) predstavlja rastojanje između tačaka \( x \) i \( y \).

Ova struktura standardno se označava sa:

$$ (X,d) $$

Metrički prostori imaju veoma važnu ulogu u matematičkoj analizi, topologiji, geometriji i mnogim drugim oblastima matematike. Pomoću njih moguće je precizno definisati pojmove kao što su konvergencija, neprekidnost, otvoreni skupovi ili kompaktnost.

Osobine metrike

Da bi neka funkcija bila metrika, mora zadovoljavati tri osnovne osobine.

1. Nenegativnost

   Za svako \( x, y \in X \) važi:

   $$ d(x, y) \geq 0 $$

   Pri tome je rastojanje jednako nuli samo kada se radi o istoj tački:

   $$ d(x, y) = 0 \iff x = y $$

   Drugim rečima, rastojanje između dve različite tačke uvek je pozitivno.

2. Simetrija

   Za svako \( x, y \in X \) važi:

   $$ d(x, y) = d(y, x) $$

   Rastojanje ne zavisi od redosleda tačaka.

3. Nejednakost trougla

   Za sve \( x, y, z \in X \) važi:

   $$ d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z) $$

   To znači da direktno rastojanje između dve tačke nikada nije veće od zbira rastojanja preko treće tačke.

U suštini, metrički prostor je jednostavno skup opremljen funkcijom rastojanja.

Takva struktura može opisivati veoma jednostavne diskretne skupove tačaka, ali i složene apstraktne prostore beskonačne dimenzije.

Primer metričkog prostora

Jedan od najpoznatijih primera metričkog prostora jeste Euklidski prostor \( \mathbb{R}^n \).

Kada je \( n = 2 \), dobijamo ravan. Kada je \( n = 3 \), dobijamo običan trodimenzionalni prostor.

Posmatrajmo prostor \( \mathbb{R}^2 \), odnosno Kartezijansku ravan.

Za dve tačke:

$$ p = (p_1,p_2) \qquad q = (q_1,q_2) $$

Euklidska metrika definiše se formulom:

$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$

Ova formula predstavlja Euklidsko rastojanje, odnosno najkraće rastojanje između dve tačke u ravni.

Formula potiče direktno iz Pitagorine teoreme.

Euklidska metrika zadovoljava sve osobine metrike:

1. Nenegativnost, jer je kvadratni koren zbira kvadrata uvek nenegativan.
2. Simetriju, zato što važi:

   $$ (p_1 - q_1)^2 = (q_1 - p_1)^2 $$

3. Nejednakost trougla, koja proizlazi iz osnovnih osobina Euklidske geometrije.

Zbog toga je prostor \( (\mathbb{R}^2, d) \), gde je \( d \) Euklidska metrika, klasičan primer metričkog prostora.

Funkcija rastojanja ili metrika

Šta je zapravo funkcija rastojanja?

Metrika, odnosno funkcija rastojanja, jeste matematička funkcija \( d(x_1, x_2) \) koja svakom paru elemenata pridružuje broj koji predstavlja njihovo međusobno rastojanje.

Da bi neka funkcija bila metrika, mora zadovoljavati sledeće uslove:

\( d(x_1, x_2) \geq 0 \)
\( d(x_1, x_2) = 0 \) ako i samo ako je \( x_1 = x_2 \)
\( d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) \)
\( d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) \)

za sve \( x_1, x_2, x_3 \in X \).

Ovi uslovi izražavaju intuitivne osobine pojma rastojanja:

• rastojanje nikada nije negativno
• rastojanje između identičnih elemenata jednako je nuli
• rastojanje ne zavisi od redosleda elemenata
• najkraći put između dve tačke jeste direktan put

Najpoznatije vrste rastojanja

U matematici ne postoji samo jedna vrsta rastojanja. U zavisnosti od problema koji se proučava koriste se različite metrike.

Euklidsko rastojanje

$$ d_2(x, y) := \sqrt{ \sum{(x_i - y_i)^2 } } $$

Ovo je klasično rastojanje koje koristimo u običnoj geometriji. Predstavlja najkraće rastojanje između dve tačke.

Menhetn rastojanje

Menhetn rastojanje, poznato i kao „taksi rastojanje“, koristi se u situacijama gde kretanje nije moguće dijagonalno, već samo horizontalno i vertikalno, kao u mreži gradskih ulica.

$$ d_1(x_1, x_2) := \sum{ |x_i - y_i| } $$

Diskretna metrika

U diskretnoj metrici sva različita dva elementa imaju rastojanje jednako 1, dok identični elementi imaju rastojanje 0.

$$ d(x, y) := \begin{cases} 0 \:\:\: \text{ako je} \: x = y \\ 1 \:\:\: \text{ako je} \: x \ne y \end{cases} $$

Metrika indukovana normom

Norma omogućava prirodno definisanje metrike.

U tom slučaju kaže se da je metrika indukovana normom.

$$ ||v|| := d(v, 0_V) $$

Norma vektora može se posmatrati kao njegovo rastojanje od koordinatnog početka.

Zbog toga svaki normirani vektorski prostor automatski predstavlja i metrički prostor.

Napomena : Obrat ne mora važiti. Ne može se svaka metrika dobiti iz norme.

Kada je metrika indukovana normom?

Za metriku se kaže da je indukovana normom ako zadovoljava sledeće osobine:

\( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
\( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2 ) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

gde su \( v_1, v_2, v_3 \) vektori prostora \( V \), a \( k \in K \) skalar.

Primer

Euklidska norma zadovoljava obe navedene osobine, pa zato indukuje Euklidsku metriku.

Posmatrajmo vektore:

$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3 = (3,0) $$

Njihove Euklidske norme su:

$$ ||v_1||_2 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $$

$$ ||v_2||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$

$$ ||v_3||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $$

To su istovremeno i njihove udaljenosti od koordinatnog početka:

$$ ||v_1||_2 = d(v_1, 0_V) = 10 $$

$$ ||v_2||_2 = d(v_2, 0_V) = 5 $$

$$ ||v_3||_2 = d(v_3, 0_V) = 3 $$

Prema definiciji, važi \( ||v|| = d(v, 0_V) \) ako su ispunjena dva uslova:
1] \( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
2] \( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

Provera prvog uslova

$$ d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) $$

$$ d(10 + 3, 5 + 3) = d(10, 5) $$

$$ d(13, 8) = d(10, 5) $$

Leva strana daje:

$$ d(13, 8) = \sqrt{(13 - 8)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Desna strana daje:

$$ d(10, 5) = \sqrt{(10 - 5)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Pošto su obe strane jednake, prvi uslov je zadovoljen.

Provera drugog uslova

$$ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) $$

$$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) $$

Uzmimo \( k = 2 \) :

$$ d(20, 10) = 2 \cdot d(10, 5) $$

Tada dobijamo:

$$ d(20, 10) = \sqrt{(20 - 10)^2} = \sqrt{100} = 10 $$

i

$$ 2 \cdot d(10, 5) = 2 \cdot 5 = 10 $$

Dakle:

$$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) = 10 \quad \text{za } k = 2 $$

Drugi uslov je takođe zadovoljen.

Zaključujemo da je u Euklidskom prostoru metrika zaista indukovana normom.

Dodatne napomene

• Ograničen skup u metričkom prostoru
  Podskup \(A \subseteq X\) naziva se ograničenim ako postoji broj \(\mu > 0\) i tačka \(x_0 \in X\) takvi da: $$ d(x, x_0) \leq \mu \quad \text{za svako } x \in A $$ To znači da se svi elementi skupa nalaze unutar kugle konačnog poluprečnika.

  U topologiji indukovanoj metrikom ograničenost zavisi isključivo od rastojanja između elemenata.

• Ograničena metrika
  Ako je čitav prostor \(X\) ograničen, tada se kaže da je metrika \(d\) ograničena.
• Baza topologije indukovane metrikom
  U metričkom prostoru familija otvorenih kugli $$ \mathcal{B} = \{B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0\} $$ predstavlja bazu topologije.
• Teorema o neprekidnosti u metričkim prostorima
  Funkcija između metričkih prostora neprekidna je ako male promene ulaza proizvode male promene izlaza.
• Svaki metrički prostor je Hausdorfov prostor
  Svaki metrički prostor poseduje Hausdorfovu osobinu. Zbog toga se različite tačke mogu razdvojiti disjunktnim otvorenim skupovima.

  Napomena : Prostor je Hausdorfov ako za svake dve različite tačke postoje disjunktni otvoreni skupovi koji ih sadrže.

I tako dalje...