Svaki metrički prostor je Hausdorffov prostor
Svaki metrički prostor zadovoljava Hausdorffovo svojstvo. Obrnuto, ako neki topološki prostor nema ovo svojstvo, onda ne može biti induciran nijednom metrikom.
Hausdorffov prostor je topološki prostor u kojem se svake dvije različite tačke mogu razdvojiti pomoću dva disjunktna otvorena skupa.
Drugim riječima, za svake dvije različite tačke moguće je pronaći po jedan otvoren skup koji sadrži jednu od njih, tako da se ta dva otvorena skupa međusobno ne sijeku.
Ovo svojstvo je veoma važno u topologiji, jer omogućava jasno razdvajanje tačaka unutar prostora. Svi metrički prostori automatski imaju ovu osobinu.
Napomena : Hausdorffovo svojstvo mora važiti za svaki par različitih tačaka, bez izuzetka.
Primjer u euklidskoj ravni
Posmatrajmo euklidsku ravan \(\mathbb{R}^2\), opremljenu standardnom udaljenošću između dvije tačke \(x = (x_1, x_2)\) i \(y = (y_1, y_2)\), definisanom formulom :
$$ d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}. $$
Sa ovom funkcijom udaljenosti, skup \(\mathbb{R}^2\) postaje metrički prostor.
U svakom metričkom prostoru, pa tako i u \(\mathbb{R}^2\), dvije različite tačke uvijek se mogu razdvojiti disjunktnim otvorenim skupovima.
Neka su \(A = (x_1, y_1)\) i \(B = (x_2, y_2)\) dvije različite tačke ravni.
Pošto je \(A \neq B\), njihova udaljenost je strogo pozitivna :
$$ d(A, B) > 0 $$
Izaberimo poluprečnik jednak polovini te udaljenosti :
$$ r = \frac{d(A, B)}{2} $$
Sada definišimo dvije otvorene kugle poluprečnika \(r\), sa centrima u tačkama \(A\) i \(B\) :
- \(U = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, A) < r \}\)
- \(V = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, B) < r \}\)
Ova dva otvorena skupa su disjunktna :
$$ U \cap V = \varnothing $$
Zaista, svaka tačka iz skupa \(U\) bliža je tački \(A\) nego tački \(B\), dok za tačke iz skupa \(V\) važi obrnuto.
Pošto se isti postupak može primijeniti na bilo koji par različitih tačaka, zaključujemo da je \(\mathbb{R}^2\), opremljen euklidskom metrikom, Hausdorffov prostor.
Primjer prostora koji nije Hausdorffov
Posmatrajmo sada skup \(\mathbb{R}\), opremljen topologijom konačnog komplementa.
U ovoj topologiji, podskup \(U \subseteq \mathbb{R}\) je otvoren ako je prazan ili ako je njegov komplement \(\mathbb{R} \setminus U\) konačan.
To znači da otvoren skup sadrži skoro sve realne brojeve, osim konačno mnogo njih.
Neka su \(x\) i \(y\) dvije različite realne tačke.
Pokušajmo pronaći dva disjunktna otvorena skupa \(U\) i \(V\), takva da \(x \in U\) i \(y \in V\).
Pošto svaki otvoren skup sadrži skoro sve realne brojeve, i skupovi \(U\) i \(V\) imaju veoma veliki broj zajedničkih tačaka.
Zbog toga njihov presjek nikada ne može biti prazan :
$$ U \cap V \neq \varnothing $$
Prema tome, u ovoj topologiji nije moguće razdvojiti dvije različite tačke disjunktnim otvorenim skupovima.
Napomena : Uzmimo \(x = 1\) i \(y = 2\).
Definišimo otvoren skup \(U\) koji sadrži tačku \(1\), tako što uklanjamo malu okolinu tačke \(2\) :
$$ U = \mathbb{R} \setminus (2-\epsilon, 2+\epsilon) $$
Slično tome, definišimo otvoren skup \(V\) koji sadrži tačku \(2\), uklanjajući malu okolinu tačke \(1\) :
$$ V = \mathbb{R} \setminus (1-\epsilon, 1+\epsilon) $$
Presjek ova dva skupa je :
$$ U \cap V = \mathbb{R} \setminus \left[(2 - \epsilon, 2 + \epsilon) \cup (1 - \epsilon, 1 + \epsilon)\right] \ne \emptyset $$
Ovaj presjek sadrži beskonačno mnogo tačaka, pa skupovi \(U\) i \(V\) nisu disjunktni.
Prema tome, prostor \((\mathbb{R}, \text{topologija konačnog komplementa})\) nije Hausdorffov prostor.
Iz toga slijedi da ova topologija ne može biti inducirana metrikom.
Opšti dokaz
Neka su \(x\) i \(y\) dvije različite tačke metričkog prostora \((X, d)\).
Pošto je \(x \ne y\), udaljenost između njih je strogo pozitivna. Označimo :
$$ \varepsilon = d(x, y) $$
Posmatrajmo otvorene kugle sa centrima u \(x\) i \(y\), poluprečnika \(\varepsilon / 2\) :
- \(U = \{z \in X : d(x, z) < \varepsilon / 2\}\)
- \(V = \{z \in X : d(y, z) < \varepsilon / 2\}\)
Pokažimo da su skupovi \(U\) i \(V\) disjunktni.
Pretpostavimo suprotno, odnosno da postoji tačka \(z \in U \cap V\).
Tada važi :
- \(d(x, z) < \varepsilon / 2\)
- \(d(z, y) < \varepsilon / 2\)
Primjenom nejednakosti trougla dobijamo :
$$ d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon $$
Ali to je kontradikcija, jer je po definiciji :
$$ d(x, y) = \varepsilon $$
Prema tome, skupovi \(U\) i \(V\) ne mogu imati zajedničke tačke.
Tako smo dokazali da se u svakom metričkom prostoru svake dvije različite tačke mogu razdvojiti disjunktnim otvorenim skupovima.
Dakle, svaki metrički prostor je Hausdorffov prostor.
Dokaz je završen.
