Ekvivalentne definicije neprekidnosti u metričkim prostorima
U matematičkoj analizi pojam neprekidnosti ima centralnu ulogu. U okviru metričkih prostora neprekidnost se može definisati na više načina, ali su te definicije međusobno ekvivalentne.
Najpoznatija je \(\varepsilon\)-\(\delta\) definicija, uvedena još u klasičnoj analizi funkcija realne promjenljive. U teoriji metričkih prostora ista ideja ostaje važeća, ali se proširuje na mnogo opštiji kontekst.
Ovaj teorem upravo pokazuje da su :
- topološka definicija neprekidnosti
- definicija pomoću okolina
- \(\varepsilon\)-\(\delta\) definicija
potpuno ekvivalentne.
Funkcija \(f\), definisana između dva metrička prostora \((X, d_X)\) i \((Y, d_Y)\), neprekidna je ako važi sljedeće :
- Za proizvoljnu tačku \(x \in X\) bira se realan broj \(\varepsilon > 0\), koji predstavlja željenu preciznost vrijednosti funkcije.
- Zatim postoji broj \(\delta > 0\), koji određuje koliko se možemo udaljiti od tačke \(x\) unutar prostora \(X\).
- Ako je druga tačka \(x'\) dovoljno blizu tačke \(x\), odnosno ako važi : $$ d_X(x, x') < \delta $$ tada su i slike \(f(x)\) i \(f(x')\) bliske u prostoru \(Y\), odnosno : $$ d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$
Intuitivno, neprekidna funkcija ne pravi „nagla skakanja“ : male promjene ulaza izazivaju male promjene izlaza.
Ova formulacija poznata je kao \(\varepsilon\)-\(\delta\) definicija neprekidnosti.
Iako se obično uvodi u okviru funkcija realne promjenljive, ista ideja važi za proizvoljne metričke prostore.
Napomena : U Matematičkoj analizi I obično se posmatraju funkcije \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\). U tom slučaju koriste se standardne metrike : $$ d_X(x, x') = |x - x'| $$ $$ d_Y(f(x), f(x')) = |f(x) - f(x')| $$ Funkcija je neprekidna u tački \(x\) ako za svako \(\varepsilon > 0\) postoji \(\delta > 0\) takvo da : ako je \(|x - x'| < \delta\), tada je \(|f(x) - f(x')| < \varepsilon\). Definicija u metričkim prostorima predstavlja prirodno uopštenje ove ideje.
Primjer neprekidne funkcije
Posmatrajmo metričke prostore :
- \(X = \mathbb{R}\), sa standardnom metrikom \(d_X(x, x') = |x - x'|\)
- \(Y = \mathbb{R}\), sa standardnom metrikom \(d_Y(y, y') = |y - y'|\)
Definišimo funkciju :
$$ f(x) = 2x $$
Pokazaćemo da je ova funkcija neprekidna koristeći dvije različite definicije neprekidnosti.
1] Neprekidnost pomoću otvorenih skupova
U metričkom prostoru skup \(V \subseteq Y\) otvoren je ako za svaku tačku \(y \in V\) postoji otvorena kugla potpuno sadržana u tom skupu.
Praslika skupa \(V\) preko funkcije \(f\) definiše se kao :
$$ f^{-1}(V) = \{x \in X \mid f(x) \in V\} $$
Pošto je :
$$ f(x) = 2x $$
dobijamo :
$$ f^{-1}(V) = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x \in V\} $$
Ako je \(V\) otvoren skup, tada za svaku njegovu tačku postoji \(\varepsilon > 0\) takvo da je :
$$ B_Y(y, \varepsilon) \subseteq V $$
U tom slučaju možemo uzeti :
$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$
pa će otvorena kugla \(B_X(x, \delta)\) biti sadržana u skupu \(f^{-1}(V)\).
Prema tome, praslika svakog otvorenog skupa ostaje otvoren skup, što znači da je funkcija \(f(x)=2x\) neprekidna u topološkom smislu.
2] Neprekidnost pomoću \(\varepsilon\)-\(\delta\) definicije
Neka je \(x \in X\) i neka je \(\varepsilon > 0\).
Tražimo broj \(\delta > 0\) takav da iz :
$$ |x - x'| < \delta $$
slijedi :
$$ |f(x) - f(x')| < \varepsilon $$
Pošto je :
$$ f(x)=2x \quad \text{i} \quad f(x')=2x' $$
imamo :
$$ |f(x)-f(x')| = |2x-2x'| = 2|x-x'| $$
Dovoljno je izabrati :
$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$
Tada iz uslova :
$$ |x-x'| < \delta $$
dobijamo :
$$ |f(x)-f(x')| = 2|x-x'| < 2\delta = 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$
Time je pokazano da je funkcija \(f\) neprekidna prema \(\varepsilon\)-\(\delta\) definiciji.
3] Zaključak
Iz ovog primjera vidimo da :
- funkcija \(f(x)=2x\) jeste neprekidna
- topološka definicija i \(\varepsilon\)-\(\delta\) definicija daju isti rezultat
- različiti pristupi neprekidnosti opisuju isti matematički pojam
Dokaz ekvivalencije definicija
Sada dokazujemo ekvivalenciju između dvije klasične definicije neprekidnosti funkcije \(f : X \to Y\), gdje su \(X\) i \(Y\) metrički prostori.
- Topološka definicija : funkcija \(f\) je neprekidna ako je praslika svakog otvorenog skupa iz \(Y\) otvoren skup u \(X\).
- Definicija pomoću okolina : za svako \(x \in X\) i svaki otvoreni skup \(U \subseteq Y\) koji sadrži \(f(x)\), postoji okolina \(V\) tačke \(x\) takva da : $$ f(V) \subseteq U $$
1] Od topološke definicije do definicije pomoću okolina
Pretpostavimo da je funkcija \(f\) neprekidna u topološkom smislu.
To znači da je za svaki otvoreni skup \(U \subseteq Y\) skup :
$$ f^{-1}(U) $$
otvoren u prostoru \(X\).
Neka je :
$$ x \in X \quad \text{i} \quad f(x)\in U $$
Pošto je \(f^{-1}(U)\) otvoren skup koji sadrži tačku \(x\), postoji okolina \(V\) tačke \(x\) takva da :
$$ V \subseteq f^{-1}(U) $$
Otuda slijedi :
$$ f(V)\subseteq U $$
što upravo odgovara definiciji pomoću okolina.
2] Od definicije pomoću okolina do topološke definicije
Pretpostavimo sada da za svako \(x \in X\) i svaki otvoreni skup \(U \subseteq Y\) koji sadrži \(f(x)\) postoji okolina \(V\) tačke \(x\) takva da :
$$ f(V)\subseteq U $$
Treba pokazati da je praslika svakog otvorenog skupa otvorena.
Neka je \(W \subseteq Y\) otvoren skup i neka je :
$$ x \in f^{-1}(W) $$
Tada važi :
$$ f(x)\in W $$
Po pretpostavci postoji okolina \(V\) tačke \(x\) takva da :
$$ f(V)\subseteq W $$
Odakle slijedi :
$$ V\subseteq f^{-1}(W) $$
Dakle, svaka tačka skupa \(f^{-1}(W)\) ima okolinu potpuno sadržanu u tom skupu, pa je \(f^{-1}(W)\) otvoren skup u prostoru \(X\).
Na taj način pokazali smo da su definicija neprekidnosti pomoću otvorenih skupova i definicija pomoću okolina međusobno ekvivalentne.
Time je dokaz završen.
