Teorema o upoređivanju topologija indukovanih metrikama

Neka su $d$ i $d'$ dve metrike definisane na skupu $X$, i neka su $\mathcal{T}$ i $\mathcal{T}'$ topologije koje one redom indukuju. Kaže se da je topologija $\mathcal{T}'$ finija od topologije $\mathcal{T}$ ako i samo ako za svako $x \in X$ i svako $\varepsilon > 0$ postoji $\delta > 0$ takvo da važi: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ gde $B_d(x, \varepsilon)$ i $B_{d'}(x, \delta)$ predstavljaju otvorene kugle sa centrom u tački $x$, definisane pomoću metrika $d$ i $d'$.

Kada na istom skupu definišemo dve različite metrike, dobijamo i dve različite topologije. Svaka od njih određuje šta znači da je skup otvoren, kako izgledaju okruženja tačaka i na koji način se opisuju bliskost i kontinuitet.

Ako metrike označimo sa $d$ i $d'$, tada one indukuju:

topologiju $\mathcal{T}$, određenu metrikom $d$;
topologiju $\mathcal{T}'$, određenu metrikom $d'$.

Osnovna ideja teoreme jeste sledeća:

Topologija $\mathcal{T}'$ finija je od topologije $\mathcal{T}$ ako svaki otvoreni skup iz $\mathcal{T}$ sadrži bar jedan otvoreni skup iz $\mathcal{T}'$.

Drugim rečima, finija topologija razlikuje više otvorenih skupova i preciznije opisuje lokalnu strukturu prostora.

Ovaj kriterijum predstavlja jedan od osnovnih alata za poređenje topologija indukovanih različitim metrikama.

Primer: euklidska i diskretna topologija
Dokaz teoreme

Primer: euklidska i diskretna topologija

Posmatrajmo ravan $X = \mathbb{R}^2$ sa dve različite metrike.

Euklidska metrika : $$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ U ovoj metrici otvorene kugle predstavljaju obične otvorene diskove: $$ B_d((x, y), \varepsilon) = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{(u - x)^2 + (v - y)^2} < \varepsilon\} $$
Diskretna metrika : $$ d'((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \begin{cases} 0 & \text{ako je } (x_1, y_1) = (x_2, y_2), \\ 1 & \text{ako je } (x_1, y_1) \neq (x_2, y_2) \end{cases} $$ U ovom slučaju otvorene kugle imaju veoma drugačiji oblik: \[ B_{d'}((x, y), \delta) = \begin{cases} \{(x, y)\} & \text{ako je } \delta \leq 1, \\ X & \text{ako je } \delta > 1 \end{cases} \]

U diskretnoj topologiji svaki singleton je otvoren skup. To znači da svaka pojedinačna tačka ima sopstveno otvoreno okruženje.

Pokažimo sada da je diskretna topologija finija od euklidske.

Prema teoremi, potrebno je proveriti sledeći uslov:

$$ \mathcal{T}' \text{ je finija od } \mathcal{T} \iff \forall x \in X,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 \text{ takvo da } B_{d'}(x,\delta) \subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

Neka je $P = (x_0, y_0)$ proizvoljna tačka ravni i neka je $\varepsilon > 0$.

Za euklidsku metriku skup $B_d(P,\varepsilon)$ predstavlja otvoreni disk sa centrom u tački $P$.

Za diskretnu metriku važi:

ako je $\delta \leq 1$, tada je $B_{d'}(P,\delta)=\{P\}$;
ako je $\delta >1$, tada je $B_{d'}(P,\delta)=X$.

Ako uzmemo $\delta=1$, dobijamo:

$$ B_{d'}(P,\delta)=\{P\} $$

Pošto tačka $P$ pripada svakom otvorenom disku sa centrom u $P$, sledi:

$$ B_{d'}(P,\delta)\subseteq B_d(P,\varepsilon) $$

Uzmimo konkretno tačku $P=(1,2)$. U euklidskoj topologiji otvorena kugla poluprečnika $\varepsilon=0{,}4$ predstavlja otvoreni disk oko tačke $P$.
Primer upoređivanja topologija indukovanih metrikama
U diskretnoj topologiji skup $\{P\}$ otvoren je po definiciji. Kako važi $\{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon)$, uslov iz teoreme je ispunjen.

Isti argument važi za svaku tačku ravni. Zato zaključujemo da svaki otvoreni skup euklidske topologije sadrži otvoreni skup diskretne topologije.

Prema tome, diskretna topologija zaista jeste finija od euklidske topologije.

Dokaz teoreme

Dokaz se zasniva na ekvivalenciji dva tvrđenja:

ako je $\mathcal{T}'$ finija od $\mathcal{T}$, tada za svako $x \in X$ i svako $\varepsilon >0$ postoji $\delta >0$ takvo da važi $B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)$;
obrnuto, ako ovo uključivanje važi za svako $x$ i svako $\varepsilon>0$, tada je $\mathcal{T}'$ finija od $\mathcal{T}$.

Dokaz ćemo podeliti na dva dela.

A] Prva implikacija

Pretpostavimo da je $\mathcal{T}'$ finija od $\mathcal{T}$.

Po definiciji finije topologije, svaki otvoreni skup iz $\mathcal{T}$ otvoren je i u topologiji $\mathcal{T}'$.
Posebno, svaka kugla $B_d(x,\varepsilon)$ otvorena je u topologiji $\mathcal{T}'$.
Da bi skup bio otvoren u $\mathcal{T}'$, mora da sadrži neku kuglu oblika $B_{d'}(x,\delta)$.
Zato postoji $\delta>0$ takvo da važi: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

B] Druga implikacija

Pretpostavimo sada da za svako $x\in X$ i svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ takvo da važi:

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

Pokazaćemo da iz toga sledi da je $\mathcal{T}'$ finija od $\mathcal{T}$.

Neka je $U$ otvoren skup u topologiji $\mathcal{T}$.
Po definiciji otvorenog skupa, za svaku tačku $x\in U$ postoji kugla $B_d(x,\varepsilon)\subseteq U$.
Prema pretpostavci, postoji $\delta>0$ takvo da važi: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)\subseteq U $$
To znači da svaka tačka skupa $U$ ima otvoreno okruženje u topologiji $\mathcal{T}'$ koje je sadržano u skupu $U$.
Prema tome, skup $U$ otvoren je i u topologiji $\mathcal{T}'$.

Time je dokaz završen.

I tako dalje.