Afstand tussen verzamelingen

De afstand tussen twee verzamelingen $A$ en $B$ in een metrische ruimte $(X,d)$ is de kleinst mogelijke afstand tussen een punt uit $A$ en een punt uit $B$: $$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A \ , \ b \in B \}. $$ Hierbij stelt $d(a,b)$ de afstand tussen de punten $a$ en $b$ voor volgens de metriek $d$, terwijl $\inf$ het infimum aanduidt, dus de grootste ondergrens van alle mogelijke afstanden.

Om deze afstand te bepalen, bekijken we alle mogelijke combinaties van een punt uit $A$ en een punt uit $B$. Vervolgens zoeken we de kleinste afstand die tussen zulke punten kan optreden.

Met andere woorden: de afstand tussen twee verzamelingen geeft aan hoe dicht hun elementen elkaar kunnen benaderen.

Opmerking: Een kleine afstand betekent niet automatisch dat de verzamelingen elkaar raken of overlappen. De definitie beschrijft alleen hoe dicht punten uit beide verzamelingen bij elkaar kunnen liggen.

Wanneer is de afstand gelijk aan nul?

Als $d(A,B)=0$, betekent dit dat punten uit $A$ en $B$ willekeurig dicht bij elkaar kunnen komen.

Dat betekent echter niet noodzakelijk dat de verzamelingen een gemeenschappelijk punt hebben. Twee verzamelingen kunnen dus een afstand nul hebben en toch disjunct zijn:

$$ A \cap B = \emptyset $$

Illustratief voorbeeld

Beschouw twee verzamelingen $A$ en $B$ op de reële rechte, voorzien van de gebruikelijke metriek:

$$ d(x_1,x_2)=|x_1-x_2| $$

We bekijken nu drie verschillende situaties.

A] Geval 1

Neem $A=\{0\}$ en $B=[1,2]$. De afstand tussen beide verzamelingen is dan gelijk aan $1$.

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(0, 1) = 1 $$

Het punt $0$ ligt precies één eenheid verwijderd van het dichtstbijzijnde punt van $B$, namelijk $1$.

afstand tussen een geïsoleerd punt en een gesloten interval

B] Geval 2

Neem $A=[0,1]$ en $B=[1,2]$. In dit geval is de afstand tussen de verzamelingen gelijk aan nul.

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(1, 1) = 0 $$

De verzamelingen raken elkaar in het punt $1$. Daarom is hun onderlinge afstand gelijk aan nul.

gesloten intervallen die elkaar in één punt snijden

Ze zijn dus niet disjunct:

$$ A \cap B = \{ 1 \} $$

C] Geval 3

Neem $A=(0,1)$ en $B=(1,2)$. Ook hier is de afstand gelijk aan nul:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} $$

Hoewel deze open intervallen geen enkel gemeenschappelijk punt hebben, blijft hun afstand toch gelijk aan nul.

Het punt $1$ behoort namelijk noch tot $A$, noch tot $B$:

$$ A \cap B = \emptyset $$

Toch kunnen we punten $a \in A$ en $b \in B$ kiezen die willekeurig dicht bij $1$ liggen. Daardoor kan $|a-b|$ zo klein worden gemaakt als we willen.

open intervallen die elkaar niet raken maar waarvan de afstand nul is

De elementen van $A$ benaderen het punt $1$ van links, terwijl de elementen van $B$ hetzelfde doen van rechts. Omdat het open intervallen zijn, bevat geen van beide verzamelingen het punt $1$.

De afstand tussen $A$ en $B$ blijft daarom:

$$ d(A, B) = \inf \{ |a - b| \mid a \in A, b \in B \} = |1 - 1| = 0 $$

Kort samengevat: twee verzamelingen hoeven elkaar niet te raken om toch een afstand nul te hebben. Het volstaat dat hun elementen elkaar onbeperkt dicht kunnen benaderen.

Opmerking: Een afstand gelijk aan nul betekent dus niet dat twee verzamelingen identiek zijn of een gemeenschappelijk punt delen. De definitie beschrijft uitsluitend de mogelijke nabijheid van hun elementen.

Enzovoort.