Metrische topologie
De metrische topologie op een ruimte \( X \) wordt opgebouwd uit open bollen die worden gedefinieerd met behulp van een afstandsfunctie \( d \). Men noemt dit ook de door de metriek \( d \) geïnduceerde topologie.
In een metrische ruimte \( (X, d) \) meet de functie \( d \) de afstand tussen de punten van \( X \). Vanuit deze afstand kan men een volledige topologische structuur opbouwen, gebaseerd op open verzamelingen die worden gevormd uit open bollen.
Een open bol met middelpunt \( x \in X \) en straal \( \varepsilon > 0 \) is de verzameling van alle punten \( y \in X \) waarvan de afstand tot \( x \) kleiner is dan \( \varepsilon \) :
$$ B_d(x, \varepsilon) = \{y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon\}. $$
Een verzameling heet open wanneer zij geschreven kan worden als een, eventueel oneindige, vereniging van open bollen.
Concreet betekent dit dat een verzameling \( U \subset X \) open is als voor elk punt \( y \in U \) een straal \( \delta > 0 \) bestaat zodat de bol \( B_d(y, \delta) \) volledig binnen \( U \) ligt.
Een concreet voorbeeld
Neem de reële rechte \(\mathbb{R}\), beschouwd als een eendimensionale euclidische ruimte met de gebruikelijke euclidische metriek.
De verzameling \(\mathbb{R}\) bevat alle reële getallen.
De afstand tussen twee punten \(x\) en \(y\) wordt gegeven door :
$$ d(x, y) = |x - y| $$
Hier stelt \(|x - y|\) de absolute waarde van het verschil tussen \(x\) en \(y\) voor.
Deze functie voldoet aan alle eigenschappen die nodig zijn om een metriek te definiëren.
Met deze afstand kunnen open bollen in \(\mathbb{R}\) worden geconstrueerd.
Kies bijvoorbeeld het punt \(x = 3\) en een straal \(\varepsilon = 1\).
De open bol met middelpunt \(3\) en straal \(1\) is :
$$ B_d(3, 1) = \{y \in \mathbb{R} \mid d(3, y) < 1\} = \{y \in \mathbb{R} \mid |3 - y| < 1\} $$
Door de ongelijkheid \( |3 - y| < 1 \) op te lossen, krijgen we :
$$ 2 < y < 4 $$
Dus :
$$ B_d(3, 1) = (2, 4) $$
De open bol met middelpunt \(3\) en straal \(1\) komt dus overeen met het open interval \((2, 4)\) op de reële rechte.
Open intervallen zoals \( (2, 4) \), \( (5, 7) \), of algemener elk interval \((a, b)\) in \(\mathbb{R}\), kunnen worden geïnterpreteerd als open bollen of als verenigingen van open bollen die horen bij de metriek \(d(x, y) = |x - y|\).
Deze intervallen vormen een basis voor de metrische topologie op \(\mathbb{R}\).
Opmerking. In de metrische topologie van \(\mathbb{R}\) heet een verzameling open wanneer rond ieder punt van die verzameling een klein open interval kan worden gekozen dat volledig binnen de verzameling blijft. Zo is \((0, 5)\) een open verzameling, omdat elk punt van het interval omgeven kan worden door een kleiner interval dat de grenspunten \(0\) en \(5\) niet raakt.
Kort gezegd induceert de metriek \(d(x, y) = |x - y|\) op \(\mathbb{R}\) de gebruikelijke topologie van open intervallen, ook wel de metrische topologie van \(\mathbb{R}\) genoemd.
Open verzamelingen in een metrische topologie
In een metrische topologie heet een deelverzameling \( U \subset X \) open wanneer voor elk punt \( y \in U \) een open bol met middelpunt \( y \) bestaat die volledig binnen \( U \) ligt.
Met andere woorden: elk punt van een open verzameling beschikt over een kleine "veiligheidsmarge" rondom zich die de verzameling niet verlaat.
In het vlak kan zo'n omgeving worden voorgesteld als een schijf, terwijl men in ruimten van hogere dimensie spreekt van een bol.
Precies deze eigenschap onderscheidt open verzamelingen van andere soorten verzamelingen.
Hieronder staat een voorbeeld van een open verzameling in de metrische ruimte \( \mathbb{R}^2 \).
Daartegenover staan de gesloten verzamelingen. Dat zijn verzamelingen die naast hun inwendige punten ook hun randpunten bevatten.
Het onderscheid tussen open en gesloten verzamelingen vormt een van de fundamentele ideeën binnen de topologie.
Soorten metriek
Een metrische topologie hoeft niet noodzakelijk gebaseerd te zijn op de gewone euclidische afstand. Verschillende definities van afstand leiden tot verschillende vormen van open bollen.
Hieronder staan enkele van de meest gebruikte metriekvormen op het vlak \( \mathbb{R}^2 \).
- Euclidische metriek (standaardmetriek)
Deze metriek produceert cirkelvormige open bollen en induceert de gebruikelijke topologie op \( \mathbb{R}^2 \).
$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$
- Taximetriek (Manhattan-afstand)
Bij deze metriek hebben de open bollen de vorm van een ruit. De afstand wordt gemeten alsof men zich alleen horizontaal en verticaal door een stratenplan kan bewegen.
$$ d_T(p, q) = |p_1 - q_1| + |p_2 - q_2|. $$
- Maximum- of supremummetriek
In deze metriek zijn de open bollen vierkanten met middelpunt \( p \) en zijde \( 2\varepsilon \).
$$ d_M(p, q) = \max\{|p_1 - q_1|, |p_2 - q_2|\} $$
Hoewel deze metriekvormen verschillende geometrische vormen opleveren, namelijk cirkels, ruiten en vierkanten, induceren zij allemaal een metrische topologie op \( \mathbb{R}^2 \).
Aanvullende opmerkingen
Hieronder volgen nog enkele belangrijke observaties over topologieën die door metrische afstanden worden geïnduceerd.
- Stelling: vergelijking van metrische topologieën
Laat \(d\) en \(d'\) twee metriekfuncties zijn op dezelfde verzameling \(X\), die respectievelijk de topologieën \(\mathcal{T}\) en \(\mathcal{T}'\) induceren. Men zegt dat \(\mathcal{T}'\) fijner is dan \(\mathcal{T}\) wanneer voor elke \(x \in X\) en elke \(\varepsilon > 0\) een \(\delta > 0\) bestaat zodat : $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ waarbij \(B_{d}(x, \varepsilon)\) en \(B_{d'}(x, \delta)\) de open bollen voorstellen met middelpunt \(x\) volgens respectievelijk de metriek \(d\) en \(d'\).
In eenvoudige woorden: de topologie \(\mathcal{T}'\) is fijner dan \(\mathcal{T}\) wanneer zij meer open verzamelingen onderscheidt. - Stelling van de begrensde metriek
In een metrische ruimte \( (X, d) \) kan men een nieuwe begrensde metriek definiëren via \( d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) \), met \(\varepsilon > 0\). Deze metriek induceert dezelfde topologie als \( d \), zodat beide metriekfuncties precies dezelfde open verzamelingen bepalen.
