Stelling over begrensde metrieken
In een metrische ruimte \( (X, d) \) kan men een nieuwe begrensde metriek definiëren via $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$ Deze nieuwe metriek induceert exact dezelfde topologie als de oorspronkelijke metriek \( d \). Dat betekent dat beide metrieken dezelfde open verzamelingen definiëren, ook al zijn hun afstanden niet identiek.
Het idee achter deze constructie is eenvoudig. Zolang de afstand tussen twee punten kleiner is dan \(1\), gedraagt \( d' \) zich precies hetzelfde als de oorspronkelijke metriek \( d \). Zodra een afstand groter wordt dan \(1\), wordt ze begrensd op die waarde.
Met andere woorden:
$$ d'(x, y)= \begin{cases} d(x,y) & \text{als } d(x,y)<1 \\ 1 & \text{als } d(x,y)\geq 1 \end{cases} $$
De metriek \( d' \) is dus uniform begrensd door 1. Ondanks die begrenzing blijft de volledige topologische structuur van de ruimte behouden.
Opmerking : Het getal \(1\) kan in het algemeen vervangen worden door een willekeurige constante \(\varepsilon > 0\): $$ d'(x, y)=\min(d(x,y),\varepsilon) $$ Alle afstanden worden dan begrensd door \(\varepsilon\), terwijl de geïnduceerde topologie onveranderd blijft. Voor de duidelijkheid werken we hier verder met het geval \(\varepsilon = 1\).
Een concreet voorbeeld
Beschouw de verzameling \( \mathbb{R} \) met de gebruikelijke metriek:
$$ d(x,y)=|x-y| $$
Definieer nu de begrensde metriek:
$$ d'(x,y)=\min(|x-y|,1) $$
Met deze definitie kunnen afstanden nooit groter worden dan \(1\).
Neem bijvoorbeeld \( x=2 \) en \( y=5 \). Bij de gewone metriek krijgen we: \( d(2,5)=|2-5|=3 \) Bij de begrensde metriek wordt deze afstand: \( d'(2,5)=\min(3,1)=1 \) Beschouwen we daarentegen \( x=2 \) en \( y=2{,}5 \), dan geldt: \( d'(2,2.5)=\min(|2-2.5|,1)=0.5 \) Omdat \( |2-2.5|<1 \), verandert de afstand in dit geval niet. Dus: \( d=d'=0.5 \) $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$
De metriek \( d' \) "knipt" dus alle grote afstanden af op \(1\). Toch verandert het begrip nabijheid niet. Punten die dicht bij elkaar liggen volgens \( d \), blijven ook dicht bij elkaar liggen volgens \( d' \). Daarom genereren beide metrieken dezelfde topologie.
Waarom blijft de topologie hetzelfde?
In een metrische ruimte worden open verzamelingen opgebouwd uit open bollen.
De open bollen van \( d' \) zijn weliswaar kleiner dan die van \( d \), maar toch kan elke open verzameling van de oorspronkelijke metriek worden gereconstrueerd met behulp van open bollen van \( d' \).
Beschouw bijvoorbeeld de open bol \( B_d(3,2) \), met middelpunt \(3\) en straal \(2\).
Per definitie geldt:
$$ B_d(3,2)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(3,y)<2\} $$
Omdat \( d(x,y)=|x-y| \), volgt:
$$ |3-y|<2 \Rightarrow 1<y<5 $$
Dus:
$$ B_d(3,2)=(1,5) $$
Dit is een open interval met lengte \(4\), gecentreerd rond \(3\).
Met de begrensde metriek \( d' \) kunnen we dit interval reconstrueren door kleinere open bollen te combineren:
$$ B_{d'}(2,1)\cup B_{d'}(3,1) $$
De eerste bol bedekt het interval \( (1,3) \), de tweede het interval \( (2,4) \). Samen vormen ze een overdekking van het interval \( (1,5) \).
Dit voorbeeld laat zien dat open verzamelingen uit de oorspronkelijke metriek nog steeds kunnen worden opgebouwd met open bollen van de begrensde metriek. Daarom blijven beide topologieën identiek.
Bewijs van de stelling
Om te bewijzen dat \( d' \) dezelfde topologie induceert als \( d \), moeten we eerst aantonen dat \( d' \) daadwerkelijk een metriek is.
Daarvoor controleren we de gebruikelijke axioma's:
- \( d'(x,y)\geq0 \) (positiviteit),
- \( d'(x,y)=0 \) dan en slechts dan als \( x=y \) (identiteit van ononderscheidbaren),
- \( d'(x,y)=d'(y,x) \) (symmetrie),
- \( d' \) voldoet aan de driehoeksongelijkheid.
De driehoeksongelijkheid volgt rechtstreeks uit de definitie van \( d' \).
- Als \( d(x,y)\geq1 \) of \( d(y,z)\geq1 \), dan geldt: \( d'(x,y)+d'(y,z)\leq2 \). Omdat bovendien altijd \( d'(x,z)\leq1 \) geldt, volgt: $$ d'(x,z)\leq d'(x,y)+d'(y,z) $$
- Als \( d(x,y)<1 \) en \( d(y,z)<1 \), dan valt \( d' \) samen met \( d \). Aangezien \( d \) al een metriek is, geldt de driehoeksongelijkheid automatisch.
16 / 05 / 2026
Nu vaststaat dat \( d' \) een metriek is, blijft nog te bewijzen dat beide metrische topologieën samenvallen.
Noem de door \( d \) geïnduceerde topologie \( T \), en de door \( d' \) geïnduceerde topologie \( T' \).
We tonen beide inclusies aan:
- \( T \subseteq T' \)
- \( T' \subseteq T \)
A] Bewijs van \( T \subseteq T' \)
- Als \( r\leq1 \), dan geldt: $$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r) $$
- Als \( r>1 \), dan geldt: $$ B_{d'}(x,r)\subseteq B_d(x,r) $$ Elke open bol van \( d' \) is dus open in de topologie van \( d \).
B] Bewijs van \( T' \subseteq T \)
- Voor \( r\leq1 \) geldt opnieuw: $$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r) $$
- Als \( r>1 \), dan kan de bol \( B_d(x,r) \) worden overdekt door een vereniging van open bollen met straal \( \varepsilon\leq1 \), die open zijn in de topologie van \( d' \):
$$ B_d(x,r)=\bigcup_i B_{d'}(x_i,\varepsilon) $$
Conclusie
Omdat elke topologie in de andere is inbegrepen, volgt:
$$ T=T' $$
Daarmee is bewezen dat de oorspronkelijke metriek \( d \) en de begrensde metriek \( d' \) exact dezelfde topologische structuur op \( X \) induceren.
