Isometrische equivalentie van metrische ruimten
Twee metrische ruimten noemt men isometrisch equivalent wanneer er een afbeelding \(f : X \to Y\) bestaat die aan twee fundamentele voorwaarden voldoet:
- Bijectiviteit: elk punt van \(X\) komt overeen met precies één punt van \(Y\), en omgekeerd.
- Isometrie: alle afstanden blijven exact behouden. Voor alle \(x_1, x_2 \in X\) geldt dus: $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$
Wanneer zo’n afbeelding bestaat, zijn de ruimten \(X\) en \(Y\) isometrisch. Ze hebben dan exact dezelfde metrische structuur.
Het begrip isometrische equivalentie speelt een belangrijke rol in de studie van metrische ruimten. Het maakt het mogelijk om twee ruimten met elkaar te vergelijken en na te gaan of zij, vanuit metrisch oogpunt, werkelijk identiek zijn.
Daarbij kijkt men niet alleen naar de vorm van de open verzamelingen of naar de algemene topologische structuur, maar vooral naar het behoud van alle afstanden tussen punten.
- Zijn twee metrische ruimten isometrisch, dan induceren zij automatisch dezelfde topologie. Hun open verzamelingen vallen dan volledig samen.
- Het omgekeerde geldt echter niet altijd. Twee ruimten kunnen dezelfde topologie hebben zonder isometrisch te zijn.
- Isometrie is namelijk een sterkere eigenschap dan topologische equivalentie, omdat elke afstand exact behouden moet blijven.
Een concreet voorbeeld
Beschouw de volgende twee metrische ruimten:
- \(X = \{a, b, c\}\), met de metriek \(d_X\): $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
- \(Y = \{p, q, r\}\), met de metriek \(d_Y\): $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$
Definieer nu de afbeelding \(f : X \to Y\) als volgt:
$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$
Controleer vervolgens de afstanden:
- \(d_X(a, b) = 1\) en \(d_Y(f(a), f(b)) = d_Y(p, q) = 1\)
- \(d_X(b, c) = 2\) en \(d_Y(f(b), f(c)) = d_Y(q, r) = 2\)
- \(d_X(a, c) = 3\) en \(d_Y(f(a), f(c)) = d_Y(p, r) = 3\)
Alle afstanden blijven dus exact behouden. De afbeelding \(f\) is daarom een isometrie, en de ruimten \(X\) en \(Y\) zijn isometrisch equivalent.
Voorbeeld: taximetriek en euclidische metriek
In het vlak induceren de taximetriek (\(d_T\)) en de standaard euclidische metriek (\(d\)) dezelfde topologie. Beide metrische structuren genereren dus dezelfde open verzamelingen.
Toch betekent dit niet automatisch dat de twee ruimten ook isometrisch equivalent zijn.
Bij de taximetriek wordt de afstand tussen \((x_1, y_1)\) en \((x_2, y_2)\) gedefinieerd door:
$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$
Deze metriek beschrijft afstanden zoals een taxi zich door een rechthoekig stratenplan verplaatst: alleen horizontale en verticale bewegingen tellen mee.
De euclidische metriek meet daarentegen de kortste afstand in rechte lijn:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$
Stel nu dat er een afbeelding \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) bestaat die alle afstanden voor beide metrische structuren bewaart. Beschouw de punten \(A = (1, 1)\) en \(B = (2, 2)\).
Volgens de taximetriek geldt:
$$ d_T((2, 2), (1, 1)) = |2 - 1| + |2 - 1| = 2 $$
Met de euclidische metriek krijgt men:
$$ d((1, 1), (2, 2)) = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 $$
De afstanden zijn dus verschillend. Daarom kan er geen isometrie bestaan die beide metrische structuren tegelijkertijd behoudt.
Het vlak met de taximetriek is dus niet isometrisch equivalent aan het vlak met de euclidische metriek.
Samengevat: twee metrische ruimten kunnen dezelfde topologie hebben zonder metrisch identiek te zijn. Isometrische equivalentie vereist namelijk het exacte behoud van alle afstanden.
Enzovoort.
