Metriseerbare topologische ruimte
Een metriseerbare topologische ruimte is een topologische ruimte \( X \) waarvoor een metriek \( d \) bestaat die precies dezelfde topologie induceert als de oorspronkelijke topologie van \( X \).
Met andere woorden: de open verzamelingen van de ruimte kunnen volledig worden beschreven met behulp van afstanden tussen punten.
Een metriek \( d \) op een verzameling \( X \) is een afbeelding \( d : X \times X \to [0,\infty) \) die voldoet aan vier fundamentele eigenschappen:
- de afstand is nooit negatief
- de afstand van \( x \) naar \( y \) is gelijk aan die van \( y \) naar \( x \)
- de driehoeksongelijkheid geldt
- \( d(x,y)=0 \) geldt precies wanneer \( x=y \)
Met behulp van een metriek definiëren we open bollen van de vorm:
$$ B_r(x)=\{y \in X : d(x,y)<r\} $$
Hierbij stelt \( r>0 \) de straal van de bol voor.
De topologie die door de metriek wordt geïnduceerd, bestaat uit alle mogelijke unies van zulke open bollen.
Een ruimte is dus metriseerbaar wanneer haar volledige topologische structuur kan worden gereconstrueerd vanuit een geschikte afstandsfunctie.
Opmerking : Elke open verzameling van een metriseerbare ruimte kan worden geschreven als een, eventueel oneindige, unie van open bollen.
Niet elke topologische ruimte is metriseerbaar. Een belangrijke beperking is bijvoorbeeld dat een niet-Hausdorffruimte nooit door een metriek kan worden beschreven. Elke metrische ruimte is namelijk automatisch een Hausdorffruimte.
Voorbeeld: de reële rechte
Beschouw de reële rechte \( \mathbb{R} \) met haar gebruikelijke topologie.
In deze topologie zijn de open verzamelingen willekeurige unies van open intervallen \( (a,b) \).
De standaardmetriek op \( \mathbb{R} \) definiëren we als:
$$ d(x,y)=|x-y| $$
Dit is eenvoudigweg de absolute waarde van het verschil tussen de getallen \( x \) en \( y \).
Een open bol met middelpunt \( x \) en straal \( r \) wordt dan:
$$ B_r(x)=\{y \in \mathbb{R} : d(x,y)<r\}=(x-r,x+r) $$
De open bollen zijn dus precies de gebruikelijke open intervallen.
Aangezien elke open verzameling van \( \mathbb{R} \) geschreven kan worden als een unie van zulke intervallen, volgt dat de standaardtopologie van \( \mathbb{R} \) volledig door de metriek wordt bepaald.
Daarom is \( \mathbb{R} \) een metriseerbare topologische ruimte.
Voorbeeld: de discrete topologie
Beschouw nu een willekeurige verzameling \( X \), eindig of oneindig, voorzien van de discrete topologie.
In de discrete topologie is iedere deelverzameling van \( X \) open.
We definiëren op \( X \) de volgende metriek:
$$ d(x,y)=
\begin{cases}
0 & \text{als } x=y, \\
1 & \text{als } x \neq y.
\end{cases}
$$
Deze afstand heet de discrete metriek.
Laten we bekijken hoe de open bollen eruitzien.
- Als \( r \leq 1 \), dan geldt:
$$ B_r(x)=\{x\} $$
Uitleg : Alleen de afstand \( 0 \) voldoet aan de voorwaarde \( d(x,y)<r \). Dat kan uitsluitend wanneer \( y=x \). De open bol bevat dus slechts één punt.
- Als \( r>1 \), dan geldt:
$$ B_r(x)=X $$
Uitleg : Zowel \( d(x,y)=0 \) als \( d(x,y)=1 \) voldoen nu aan de ongelijkheid \( d(x,y)<r \). Daardoor bevat de open bol alle punten van \( X \).
De singletonen \( \{x\} \) zijn dus open, net als elke mogelijke unie van singletonen.
Daarmee zien we dat de discrete topologie volledig wordt gegenereerd door de discrete metriek.
Elke discrete topologische ruimte is daarom metriseerbaar.
Belangrijke eigenschappen
- Metriseerbaarheid blijft behouden onder homeomorfismen
Als een topologische ruimte \( X \) metriseerbaar is en een ruimte \( Y \) homeomorf is met \( X \), dan is ook \( Y \) metriseerbaar. Metriseerbaarheid is dus een echte topologische eigenschap. - Urysohns metriseerbaarheidsstelling
Een topologische ruimte is metriseerbaar wanneer zij regulier is en over een aftelbare basis beschikt. Deze stelling speelt een fundamentele rol in de algemene topologie.
