Vergelijkingsstelling voor door metrische ruimten geïnduceerde topologieën

Laat $d$ en $d'$ twee metrische functies zijn op een verzameling $X$, en laat $\mathcal{T}$ en $\mathcal{T}'$ de respectieve topologieën zijn die door deze metrische functies worden geïnduceerd. De topologie $\mathcal{T}'$ heet fijner dan $\mathcal{T}$ als en slechts als voor elke $x \in X$ en elke $\varepsilon > 0$ een $\delta > 0$ bestaat zodat: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ Hierbij stellen $B_d(x, \varepsilon)$ en $B_{d'}(x, \delta)$ de open bollen voor met middelpunt $x$ en respectieve stralen $\varepsilon$ en $\delta$, gedefinieerd volgens de metrische functies $d$ en $d'$.

Deze stelling maakt het mogelijk om twee topologieën met elkaar te vergelijken die afkomstig zijn van verschillende metrische functies op dezelfde verzameling.

Wanneer men op een verzameling $X$ twee verschillende manieren gebruikt om afstanden te meten, dus twee metrische functies $d$ en $d'$, dan induceert elke metriek een eigen topologie:

De topologie $\mathcal{T}$, geïnduceerd door $d$;
De topologie $\mathcal{T}'$, geïnduceerd door $d'$.

De stelling zegt dat $\mathcal{T}'$ fijner is dan $\mathcal{T}$ wanneer elke open verzameling van $\mathcal{T}$ ook open is in $\mathcal{T}'$. Met andere woorden: de topologie $\mathcal{T}'$ bevat minstens alle open verzamelingen van $\mathcal{T}$, en mogelijk nog meer.

De voorwaarde $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ betekent concreet dat elke open bol van de metriek $d$ rond een punt $x$ een kleinere open bol bevat die afkomstig is van de metriek $d'$.

Dit criterium vormt een fundamenteel hulpmiddel in de topologie en de analyse, omdat het laat zien hoe de keuze van een metriek de structuur van open verzamelingen beïnvloedt.

Een concreet voorbeeld
Bewijs van de stelling

Een concreet voorbeeld

Beschouw het cartesische vlak $X = \mathbb{R}^2$, uitgerust met twee verschillende metrische functies.

Euclidische metriek : $$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ De open bollen van deze metriek zijn de gebruikelijke open schijven in het vlak: $$ B_d((x, y), \varepsilon) = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{(u - x)^2 + (v - y)^2} < \varepsilon\} $$
Discrete metriek : $$ d'((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \begin{cases} 0 & \text{als } (x_1, y_1) = (x_2, y_2), \\ 1 & \text{als } (x_1, y_1) \neq (x_2, y_2) \end{cases} $$ De overeenkomstige open bollen zijn: \[ B_{d'}((x, y), \delta) = \begin{cases} \{(x, y)\} & \text{als } \delta \leq 1, \\ X & \text{als } \delta > 1 \end{cases} \]

We tonen nu aan dat de discrete topologie fijner is dan de euclidische topologie.

Volgens de stelling moeten we controleren dat:

$$ \forall x \in X, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ zodat } B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$

Neem een willekeurig punt $P = (x_0, y_0)$ in $\mathbb{R}^2$ en kies een willekeurige straal $\varepsilon > 0$.

De open bol $B_d(P, \varepsilon)$ van de euclidische metriek is een open schijf rond het punt $P$.

Voor de discrete metriek geldt:

Als $\delta \leq 1$, dan is $B_{d'}(P, \delta) = \{P\}$
Als $\delta > 1$, dan is $B_{d'}(P, \delta) = X$

In de discrete topologie is elke singleton dus een open verzameling.

Kiezen we bijvoorbeeld $\delta = 1$, dan krijgen we: $$ B_{d'}(P, \delta) = \{P\} $$ Omdat het punt $P$ uiteraard behoort tot de euclidische bol $B_d(P, \varepsilon)$, volgt meteen: $$ B_{d'}(P, \delta) \subseteq B_d(P, \varepsilon) $$

Neem bijvoorbeeld het punt $P = (1,2)$ in $\mathbb{R}^2$. In de euclidische topologie is de open bol met straal $\varepsilon = 0{,}4$ rond $P$ een open schijf.
vergelijking tussen de discrete topologie en de euclidische topologie in het cartesische vlak
In de discrete topologie is de singleton $\{P\}$ per definitie open. Omdat bovendien $\{P\} \subseteq B_d(P,\varepsilon)$, is aan de voorwaarde van de stelling voldaan.

Dit argument werkt voor elk punt van het vlak. Daarom bevat iedere open verzameling van de euclidische topologie minstens één open verzameling van de discrete topologie.

We besluiten dus dat de discrete topologie inderdaad fijner is dan de euclidische topologie.

Bewijs van de stelling

Het bewijs berust op de equivalentie van twee uitspraken:

Als $\mathcal{T}'$ fijner is dan $\mathcal{T}$, dan bestaat voor elke $x \in X$ en elke $\varepsilon > 0$ een $\delta > 0$ zodat $B_{d'}(x,\delta) \subseteq B_d(x,\varepsilon)$.
Omgekeerd: als deze inclusie voor alle punten en alle stralen geldt, dan is $\mathcal{T}'$ fijner dan $\mathcal{T}$.

Het bewijs bestaat dus uit twee implicaties.

A] Eerste implicatie

Veronderstel dat $\mathcal{T}'$ fijner is dan $\mathcal{T}$.

Elke open verzameling van $\mathcal{T}$ is dan ook open in $\mathcal{T}'$.
In het bijzonder is elke open bol $B_d(x,\varepsilon)$ open in $\mathcal{T}'$.
Omdat open verzamelingen in $\mathcal{T}'$ rond elk punt een open bol van de metriek $d'$ moeten bevatten, bestaat er een $\delta > 0$ zodat: $$ B_{d'}(x,\delta) \subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

B] Tweede implicatie

Veronderstel nu dat voor elke $x \in X$ en elke $\varepsilon > 0$ een $\delta > 0$ bestaat zodat: $$ B_{d'}(x,\delta) \subseteq B_d(x,\varepsilon) $$

We tonen aan dat $\mathcal{T}'$ dan fijner is dan $\mathcal{T}$.

Neem een open verzameling $U$ van $\mathcal{T}$.
Per definitie kan $U$ worden geschreven als een unie van open bollen van de metriek $d$.
Voor elk punt $x \in U$ bestaat dus een open bol $B_d(x,\varepsilon)$ zodat: $$ B_d(x,\varepsilon) \subseteq U $$
Volgens de hypothese bestaat er dan een $\delta > 0$ zodat: $$ B_{d'}(x,\delta) \subseteq B_d(x,\varepsilon) \subseteq U $$
Daaruit volgt dat elk punt van $U$ een open omgeving bezit in $\mathcal{T}'$ die volledig in $U$ ligt.
Dus is $U$ open in $\mathcal{T}'$.

Daarmee is het bewijs van de stelling volledig.

Enzovoort.