Begrensde verzamelingen in metrische ruimten
In een metrische ruimte \((X, d)\), waarbij \(d\) de afstand tussen punten meet, noemt men een deelverzameling \(A \subseteq X\) begrensd als er een strikt positief reëel getal \(\mu > 0\) bestaat waarvoor geldt dat
$$ d(x,y) \leq \mu \qquad \text{voor alle } x,y \in A $$
Dat betekent dat de onderlinge afstand tussen willekeurige punten van \(A\) nooit groter wordt dan een bepaalde vaste bovengrens \(\mu\).
Men kan het ook intuïtief formuleren: alle punten van \(A\) liggen binnen een gebied met eindige diameter.
Wanneer de volledige ruimte \(X\) begrensd is ten opzichte van de metriek \(d\), spreekt men van een begrensde metriek.
Opmerking: Als de metriek \(d\) begrensd is, dan is automatisch ook iedere deelverzameling van \(X\) begrensd. De afstanden binnen een deelverzameling kunnen immers nooit groter zijn dan die binnen de volledige ruimte.
Een concreet voorbeeld
Beschouw het cartesische vlak \(\mathbb{R}^2\), uitgerust met de gebruikelijke euclidische metriek.
De afstand tussen twee punten \((x_1,y_1)\) en \((x_2,y_2)\) wordt gegeven door:
$$ d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $$
Neem nu de verzameling
$$ A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 \leq 10^2\} $$
Dit is de gesloten schijf met straal \(10\) en middelpunt in de oorsprong.
Om te bepalen of \(A\) begrensd is, moeten we nagaan of er een constante \(\mu\) bestaat waarvoor de afstand tussen twee willekeurige punten van \(A\) altijd kleiner dan of gelijk aan \(\mu\) blijft.
De grootste afstand ontstaat wanneer twee punten zich aan tegenoverliggende uiteinden van een diameter bevinden, bijvoorbeeld in \((10,0)\) en \((-10,0)\).
In dat geval geldt:
$$ d((10,0),(-10,0)) = \sqrt{((-10)-10)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{400} = 20 $$
Geen enkel tweetal punten binnen de schijf kan dus verder dan \(20\) van elkaar verwijderd zijn.
Daarom is de verzameling \(A\) begrensd, met bovengrens \(\mu = 20\).
Een begrensde metriek verandert de topologie niet
Het is belangrijk om te begrijpen dat het begrensd zijn van een metriek geen invloed heeft op de topologie die door die metriek wordt geïnduceerd.
Met andere woorden: de structuur van open en gesloten verzamelingen blijft dezelfde, ongeacht of de metriek begrensd of onbegrensd is.
Wat is topologie? De topologie van een ruimte beschrijft hoe punten en verzamelingen zich ten opzichte van elkaar gedragen. Begrippen zoals open verzamelingen, gesloten verzamelingen, convergentie en continuïteit worden allemaal topologisch gedefinieerd.
Zelfs wanneer een metriek onbegrensd is, kan men altijd een andere metriek construeren die begrensd is en toch exact dezelfde topologie voortbrengt.
Een veelgebruikte techniek bestaat erin grote afstanden samen te drukken zonder de topologische structuur van de ruimte te veranderen.
Dat gebeurt bijvoorbeeld met de transformatie:
$$ d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} $$
Wat doet deze transformatie?
Wanneer \(d(x,y)\) klein is, dan blijft de nieuwe afstand \(d'(x,y)\) vrijwel gelijk aan de oorspronkelijke afstand.
Bijvoorbeeld:
$$ d(x,y)=1 $$
Dan krijgt men:
$$ d'(x,y)=\frac{1}{1+1}=0{,}5 $$
Wordt \(d(x,y)\) daarentegen zeer groot, dan nadert \(d'(x,y)\) steeds meer de waarde \(1\).
Alle afstanden worden dus herleid tot waarden binnen het interval \([0,1)\).
Daardoor ontstaat een begrensde metriek, terwijl de topologische eigenschappen van de ruimte onveranderd blijven.
Een concreet voorbeeld van een begrensde metriek
Beschouw de gebruikelijke metriek op de reële getallen:
$$ d(x,y)=|x-y| $$
Deze metriek is onbegrensd, omdat afstanden willekeurig groot kunnen worden.
Na toepassing van de transformatie verkrijgt men:
$$ d'(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|} $$
Als \(x=1\) en \(y=2\), dan geldt:
$$ d'(1,2)=\frac{1}{1+1}=0{,}5 $$
Als \(x=1\) en \(y=1000\), dan krijgt men:
$$ d'(1,1000)=\frac{999}{1+999}=0{,}999 $$
De afstanden blijven dus altijd strikt kleiner dan \(1\).
Toch blijven de open en gesloten verzamelingen exact dezelfde als bij de oorspronkelijke metriek.
De twee metrische structuren zijn daarom topologisch equivalent.
Enzovoort...
