De ε-δ-definitie van continuïteit in metrische ruimten

De $\varepsilon$-$\delta$-definitie vormt de klassieke wiskundige formulering van continuïteit. In metrische ruimten legt deze definitie precies vast wat men intuïtief bedoelt wanneer men zegt dat een functie “geen sprongen maakt”.

De centrale gedachte is eenvoudig : kleine veranderingen in de invoer mogen slechts kleine veranderingen in de uitvoer veroorzaken.

Deze formulering speelt een fundamentele rol in analyse en topologie, omdat zij het continuïteitsbegrip uitbreidt van functies op $\mathbb{R}$ naar functies tussen willekeurige metrische ruimten.

Beschouw een functie $f$, gedefinieerd tussen twee metrische ruimten $(X, d_X)$ en $(Y, d_Y)$.

De functie $f$ heet continu wanneer aan de volgende voorwaarde wordt voldaan :

Men kiest eerst een willekeurige nauwkeurigheid $\varepsilon > 0$, die aangeeft hoe dicht de functiewaarden bij elkaar moeten liggen.
Vervolgens moet er een getal $\delta > 0$ bestaan dat bepaalt hoe dicht de punten in het domein bij elkaar moeten liggen.
Wanneer twee punten $x$ en $x'$ voldoen aan : $$ d_X(x, x') < \delta $$ dan moeten ook hun beelden onder $f$ dicht bij elkaar liggen : $$ d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$

Deze definitie staat bekend als de $\varepsilon$-$\delta$-definitie van continuïteit.

Zij vormt de metrische versie van het continuïteitsbegrip dat doorgaans in Analyse I wordt ingevoerd voor functies op $\mathbb{R}$.

Opmerking : In de klassieke analyse gebruikt men meestal functies van de vorm $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. In dat geval worden de standaardmetriek en de absolute waarde gebruikt : $$ d_X(x, x') = |x - x'| $$ $$ d_Y(f(x), f(x')) = |f(x) - f(x')| $$ Een functie is dan continu in een punt $x$ wanneer voor iedere $\varepsilon > 0$ een $\delta > 0$ bestaat zodat : als $|x - x'| < \delta$, dan $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$. De algemene definitie in metrische ruimten behoudt exact hetzelfde idee, maar werkt voor willekeurige afstanden en ruimten.

Een concreet voorbeeld
Bewijs van de equivalentie

Een concreet voorbeeld

Beschouw de volgende metrische ruimten :

Domein : $$ X = \mathbb{R} $$ met de gebruikelijke metriek : $$ d_X(x, x') = |x - x'| $$
Codomein : $$ Y = \mathbb{R} $$ eveneens met de standaardmetriek : $$ d_Y(y, y') = |y - y'| $$

Definieer nu de functie :

$$ f(x) = 2x $$

We laten zien dat deze functie continu is, eerst vanuit topologisch standpunt en daarna via de $\varepsilon$-$\delta$-definitie.

1] Continuïteit via open verzamelingen

In een metrische ruimte heet een verzameling $V \subseteq Y$ open wanneer voor elk punt $y \in V$ een straal $\varepsilon > 0$ bestaat zodat de open bol : $$ B_Y(y, \varepsilon) = \{y' \in Y \mid |y - y'| < \varepsilon\} $$ volledig in $V$ ligt.

Neem nu een open verzameling $V \subseteq Y$.

Het inverse beeld van $V$ onder de functie $f$ is :

$$ f^{-1}(V) = \{x \in X \mid f(x) \in V\} $$

Omdat : $$ f(x) = 2x $$ volgt : $$ f^{-1}(V) = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x \in V\} $$

Voor elk punt $y \in V$ bestaat een $\varepsilon > 0$ zodat : $$ B_Y(y, \varepsilon) \subseteq V $$

Daarom kan men voor ieder punt $x \in f^{-1}(V)$ kiezen : $$ \delta = \varepsilon / 2 $$

Hierdoor ligt de bol : $$ B_X(x, \delta) $$ volledig in : $$ f^{-1}(V) $$

Dus is het inverse beeld van iedere open verzameling opnieuw open. Daarmee is bewezen dat $f(x)=2x$ continu is in topologische zin.

2] Continuïteit via de $\varepsilon$-$\delta$-definitie

Neem een willekeurig punt $x \in X$ en een getal $\varepsilon > 0$.

We zoeken een $\delta > 0$ zodat : als $|x-x'| < \delta$, dan $|f(x)-f(x')| < \varepsilon$.

Omdat : $$ f(x)=2x $$ en : $$ f(x')=2x' $$ krijgen we :

$$ |f(x)-f(x')| = |2x-2x'| = 2|x-x'| $$

Het volstaat dus om te kiezen :

$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$

Wanneer : $$ |x-x'| < \delta $$ volgt onmiddellijk : $$ |f(x)-f(x')| < \varepsilon $$

Daarmee is aangetoond dat $f(x)=2x$ continu is volgens de $\varepsilon$-$\delta$-definitie.

3] Conclusie

Uit dit voorbeeld volgen twee belangrijke conclusies :

De functie $f(x)=2x$ is continu.
De topologische definitie van continuïteit en de $\varepsilon$-$\delta$-definitie zijn equivalent.

Bewijs van de equivalentie

We bewijzen nu de equivalentie tussen twee klassieke definities van continuïteit voor een functie : $$ f : X \to Y $$ waarbij $X$ en $Y$ metrische ruimten zijn.

Topologische definitie : $f$ is continu wanneer voor iedere open verzameling $U \subseteq Y$ het inverse beeld : $$ f^{-1}(U) $$ open is in $X$.
Definitie via omgevingen : Voor ieder punt $x \in X$ en iedere open verzameling $U \subseteq Y$ met : $$ f(x) \in U $$ bestaat er een omgeving $V$ van $x$ zodat : $$ f(V) \subseteq U $$

1] Van de topologische definitie naar de omgevingsdefinitie

Veronderstel dat $f$ continu is in topologische zin.

Dat betekent dat voor iedere open verzameling $U \subseteq Y$ het inverse beeld : $$ f^{-1}(U) $$ open is in $X$.

Neem een punt $x \in X$ waarvoor : $$ f(x) \in U $$

Omdat $f^{-1}(U)$ open is en het punt $x$ bevat, bestaat er een omgeving $V$ van $x$ die volledig in $f^{-1}(U)$ ligt.

Daaruit volgt onmiddellijk : $$ f(V) \subseteq U $$

Dus volgt de omgevingsdefinitie uit de topologische definitie.

2] Van de omgevingsdefinitie naar de topologische definitie

Veronderstel nu dat voor ieder punt $x \in X$ en iedere open verzameling $U \subseteq Y$ waarvoor : $$ f(x) \in U $$ een omgeving $V$ van $x$ bestaat zodat : $$ f(V) \subseteq U $$

We willen aantonen dat voor iedere open verzameling $W \subseteq Y$ het inverse beeld : $$ f^{-1}(W) $$ open is in $X$.

Neem een punt : $$ x \in f^{-1}(W) $$

Dan geldt : $$ f(x) \in W $$

Volgens de hypothese bestaat er een omgeving $V$ van $x$ zodat : $$ f(V) \subseteq W $$

Daaruit volgt : $$ V \subseteq f^{-1}(W) $$

Dus bezit ieder punt van $f^{-1}(W)$ een omgeving die volledig in $f^{-1}(W)$ ligt. Daarom is $f^{-1}(W)$ open in $X$.

We hebben daarmee bewezen dat beide definities van continuïteit equivalent zijn.