Beschränkte Teilmengen in metrischen Räumen

Sei \((X, d)\) ein metrischer Raum, in dem \(d\) den Abstand zwischen Punkten beschreibt. Eine Teilmenge \(A \subseteq X\) heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl \(\mu > 0\) gibt, sodass für alle Punkte \(x, y \in A\) gilt: \(d(x, y) \leq \mu\).

Anschaulich heißt das: Alle Punkte von \(A\) liegen innerhalb eines Bereichs mit endlicher Ausdehnung. Die Abstände zwischen ihnen bleiben also stets unter einer festen Schranke.

Gilt diese Eigenschaft für den gesamten Raum \(X\), dann spricht man von einer beschränkten Metrik. In diesem Fall gibt es eine Konstante \(\mu\), die alle Abstände im Raum nach oben begrenzt.

Bemerkung : Ist die Metrik beschränkt, so ist automatisch jede Teilmenge von \(X\) beschränkt, da keine Abstände größer werden können als im gesamten Raum.

Ein anschauliches Beispiel

Betrachten wir die euklidische Ebene \(\mathbb{R}^2\) mit der üblichen Standardmetrik.

Der Abstand zwischen zwei Punkten \((x_1, y_1)\) und \((x_2, y_2)\) wird berechnet durch:

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Wir betrachten nun die Teilmenge \(A\), die alle Punkte innerhalb einer Kreisscheibe mit Radius \(10\) und Mittelpunkt im Ursprung enthält:

$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$

Ist diese Menge beschränkt?

Der größte Abstand zwischen zwei Punkten der Scheibe tritt auf, wenn sie sich gegenüberliegen, zum Beispiel bei \((10, 0)\) und \((-10, 0)\).

Berechnen wir diesen Abstand:

$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{400} = 20 $$

Damit sehen wir: Kein Abstand innerhalb von \(A\) ist größer als \(20\).

Die Menge \(A\) ist also beschränkt, mit \(\mu = 20\) als möglicher Schranke.

Warum ist das wichtig?

Ein entscheidender Punkt ist: Ob eine Metrik beschränkt ist oder nicht, ändert nichts an der Topologie des Raums.

Was bedeutet das? Die Topologie beschreibt, welche Mengen offen oder abgeschlossen sind. Sie hängt nicht von den konkreten Zahlenwerten der Abstände ab, sondern davon, wie Punkte zueinander in Beziehung stehen.

Deshalb kann man auch bei einer nicht beschränkten Metrik eine neue, beschränkte Metrik definieren, die topologisch genau gleich ist.

Die Struktur des Raums bleibt also unverändert.

Wie erhält man eine beschränkte Metrik?

Eine bewährte Methode besteht darin, große Abstände „zusammenzudrücken", ohne die grundlegende Struktur zu verändern.

Typischerweise verwendet man dazu die Transformation:

$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$

Was passiert dabei?

Kleine Abstände bleiben nahezu unverändert:

$$ d(x, y) = 1 \quad \Rightarrow \quad d'(x, y) = 0{,}5 $$

Sehr große Abstände werden dagegen stark komprimiert und nähern sich dem Wert \(1\) an.

So landen alle Abstände im Intervall \([0, 1)\), während die topologische Struktur erhalten bleibt.

Ein konkretes Beispiel auf der reellen Zahlengeraden:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Diese Metrik ist nicht beschränkt. Nach der Transformation erhält man:

$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$

Setzen wir konkrete Werte ein:

$$ d'(1, 2) = 0{,}5 $$

$$ d'(1, 1000) = 0{,}999 $$

In jedem Fall gilt \(d'(x, y) < 1\).

Wichtig ist: Die offenen und abgeschlossenen Mengen bleiben unverändert. Die neue Metrik beschreibt also denselben topologischen Raum.

Und so weiter...