Metrisierbarer Raum

Ein metrisierbarer Raum ist ein topologischer Raum \( X \), für den es eine Metrik \( d \) gibt, die genau die Topologie von \( X \) induziert.

Anschaulich bedeutet das: Die gesamte Topologie von \( X \) lässt sich vollständig durch Abstände zwischen Punkten beschreiben.

Eine Metrik \( d \) auf einer Menge \( X \) ist eine Abbildung \( d : X \times X \to [0, \infty) \), die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

• Nichtnegativität: \( d(x,y) \geq 0 \)
• Symmetrie: \( d(x,y) = d(y,x) \)
• Dreiecksungleichung: \( d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) \)
• Identität: \( d(x,y) = 0 \) genau dann, wenn \( x = y \)

Aus einer solchen Metrik ergibt sich eine Topologie ganz natürlich: Offene Mengen entstehen als Vereinigungen offener Kugeln. Eine offene Kugel hat die Form

$$ B_r(x) = \{y \in X : d(x,y) < r\} $$

mit einem Mittelpunkt \( x \) und einem Radius \( r > 0 \).

Ein Raum ist also genau dann metrisierbar, wenn seine offenen Mengen durch solche Kugeln beschrieben werden können.

Bemerkung : Jede offene Menge kann als Vereinigung, auch unendlich vieler, solcher offenen Kugeln dargestellt werden.

Nicht jeder topologische Raum besitzt diese Eigenschaft. Insbesondere kann ein nicht hausdorffscher Raum nicht durch eine Metrik beschrieben werden.

Ein erstes Beispiel: die reellen Zahlen

Betrachten wir die reelle Gerade \( \mathbb{R} \) mit ihrer üblichen Topologie.

Die offenen Mengen sind hier genau die Vereinigungen offener Intervalle \( (a,b) \).

Die Standardmetrik ist gegeben durch

$$ d(x,y) = |x - y| $$

also durch den Abstand zwischen zwei Zahlen.

Die offenen Kugeln sind in diesem Fall genau die offenen Intervalle:

$$ B_r(x) = (x - r, x + r) $$

Da jede offene Menge als Vereinigung solcher Intervalle geschrieben werden kann, wird die Topologie vollständig durch diese Metrik beschrieben.

Damit ist \( \mathbb{R} \) ein metrisierbarer Raum.

Zweites Beispiel: die diskrete Topologie

Betrachten wir nun eine beliebige Menge \( X \) mit der diskreten Topologie.

Hier ist jede Teilmenge von \( X \) offen.

Wir definieren die diskrete Metrik:

$$ d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{falls } x = y, \\ 1 & \text{falls } x \neq y \end{cases} $$

Diese Metrik unterscheidet nur, ob zwei Punkte gleich sind oder nicht.

Die offenen Kugeln haben dann eine sehr einfache Struktur:

• Für \( r \leq 1 \): \( B_r(x) = \{x\} \)

  Erläuterung : Es gibt keinen Punkt \( y \neq x \), dessen Abstand kleiner als \( r \leq 1 \) ist. Daher bleibt nur \( x \).

• Für \( r > 1 \): \( B_r(x) = X \)

  Erläuterung : Sowohl \( d(x,y)=0 \) als auch \( d(x,y)=1 \) sind kleiner als \( r \). Daher enthält die Kugel alle Punkte.

Da sich jede Teilmenge von \( X \) als Vereinigung solcher Kugeln darstellen lässt, ist auch dieser Raum metrisierbar.

In beiden Beispielen zeigt sich dieselbe Idee: Die Metrik bildet die Topologie exakt ab.

Wichtige Eigenschaften

• Metrisierbarkeit ist eine topologische Eigenschaft
  Ist ein Raum \( X \) metrisierbar und ein Raum \( Y \) homöomorph zu \( X \), dann ist auch \( Y \) metrisierbar. Die Eigenschaft bleibt also unter strukturerhaltenden Abbildungen erhalten.
• Satz von Urysohn
  Ein topologischer Raum ist metrisierbar, wenn er regulär ist und eine abzählbare Basis besitzt. Dieses Resultat liefert ein zentrales Kriterium, um Metrisierbarkeit zu prüfen.

Zusammengefasst: Ein metrisierbarer Raum ist ein Raum, dessen Topologie vollständig durch ein Abstandsmaß beschrieben werden kann.