Metrisierbarkeit als homöomorphieinvariante Eigenschaft
Ist ein topologischer Raum \( X \) metrisierbar und ein weiterer Raum \( Y \) zu ihm homöomorph, so ist auch \( Y \) metrisierbar.
Die zentrale Aussage ist einfach: Metrisierbarkeit bleibt unter Homöomorphismen erhalten.
Das bedeutet konkret, dass jeder Raum, der topologisch zu einem metrisierbaren Raum \( X \) äquivalent ist, ebenfalls metrisierbar ist.
In der Praxis ist das sehr nützlich. Weiß man bereits, dass ein Raum \( X \) metrisierbar ist, und begegnet man einem Raum \( Y \), der zu \( X \) homöomorph ist, dann muss man keine neue Metrik auf \( Y \) konstruieren. Die Metrisierbarkeit folgt sofort aus der topologischen Äquivalenz.
Erklärung
Ein topologischer Raum \( X \) heißt metrisierbar, wenn es eine Metrik \( d \) gibt, die seine Topologie induziert. Mit anderen Worten: Die offenen Mengen von \( X \) lassen sich vollständig durch eine geeignete Abstandsfunktion beschreiben.
Ein Homöomorphismus ist eine bijektive Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen \( X \) und \( Y \), die stetig ist und deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist. Eine solche Abbildung bewahrt die topologische Struktur. Daher besitzen \( X \) und \( Y \) dieselben grundlegenden topologischen Eigenschaften.
Hat \( X \) eine Metrik \( d \), die seine Topologie erzeugt, dann lässt sich diese Struktur über den Homöomorphismus auf den Raum \( Y \) übertragen. Auf diese Weise erhält man auch auf \( Y \) eine mit seiner Topologie verträgliche Metrik.
Die Schlussfolgerung ist daher klar: Metrisierbarkeit ist eine topologische Eigenschaft, die durch Homöomorphismen nicht verändert wird.
Beispiel
Betrachten wir die reelle Gerade \( \mathbb{R} \) mit ihrer üblichen Topologie, die durch die euklidische Metrik induziert wird, sowie das offene Intervall \( (-1,1) \).
Der Raum \( \mathbb{R} \) ist mit der Standardmetrik \( d(x, y) = |x - y| \) metrisierbar.
Definieren wir nun die Abbildung \( f : \mathbb{R} \to (-1,1) \) durch \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \). Diese Abbildung ist ein Homöomorphismus: Sie ist stetig, bijektiv, und auch ihre Umkehrabbildung ist stetig. Damit beschreibt \( f \) eine strukturtreue Zuordnung zwischen \( \mathbb{R} \) und \( (-1,1) \).
Da Homöomorphismen die Topologie erhalten, folgt sofort: Weil \( \mathbb{R} \) metrisierbar ist, ist auch das Intervall \( (-1,1) \) metrisierbar.
In diesem konkreten Fall sieht man sogar direkt, warum: Die euklidische Metrik kann einfach auf das Intervall \( (-1,1) \) eingeschränkt werden.
Dieses Prinzip gilt allgemein. Immer wenn zwei Räume homöomorph sind, teilen sie dieselben topologischen Eigenschaften, einschließlich der Metrisierbarkeit.
