Isometrien zwischen metrischen Räumen
Zwei metrische Räume heißen isometrisch, wenn es eine Abbildung \(f : X \to Y\) gibt, die zwei zentrale Eigenschaften erfüllt:
- Bijektivität : Die Abbildung \(f\) ordnet jedem Element aus \(X\) genau ein Element aus \(Y\) zu und umgekehrt.
- Isometrie : Für alle \(x_1, x_2 \in X\) bleibt der Abstand exakt erhalten: $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$
Eine solche Abbildung nennt man Isometrie. In diesem Fall sind die Räume \(X\) und \(Y\) strukturell identisch, zumindest aus Sicht der Abstände.
Die Idee hinter der Isometrie ist einfach: Man möchte verstehen, ob zwei metrische Räume im Kern gleich sind, wenn man nur betrachtet, wie weit Punkte voneinander entfernt sind.
- Sind zwei Räume isometrisch, dann haben sie automatisch dieselbe Topologie. Ihre offenen Mengen stimmen also überein, und damit auch ihre grundlegende Struktur.
- Die Umkehrung gilt jedoch nicht. Zwei Räume können dieselbe Topologie besitzen, ohne dass ihre Abstände übereinstimmen.
- Isometrie ist daher eine strengere Eigenschaft als topologische Äquivalenz, weil sie verlangt, dass alle Abstände exakt erhalten bleiben.
Beispiel
Betrachten wir zwei einfache metrische Räume:
- \(X = \{a, b, c\}\) mit $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
- \(Y = \{p, q, r\}\) mit $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$
Definieren wir eine Abbildung:
$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$
Ein kurzer Blick auf die Abstände zeigt:
- \(a\) und \(b\) haben Abstand 1, ebenso wie \(p\) und \(q\)
- \(b\) und \(c\) haben Abstand 2, ebenso wie \(q\) und \(r\)
- \(a\) und \(c\) haben Abstand 3, ebenso wie \(p\) und \(r\)
Alle Abstände bleiben erhalten. Die Abbildung ist also eine Isometrie, und die beiden Räume sind isometrisch.
Beispiel 2
Ein klassisches Beispiel liefert die Ebene mit zwei verschiedenen Metriken:
Die Taximetrik und die euklidische Metrik erzeugen dieselbe Topologie. Das bedeutet, sie definieren dieselben offenen Mengen.
Doch stimmen auch die Abstände überein?
Bei der Taximetrik gilt:
$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$
Hier bewegt man sich gedanklich entlang von horizontalen und vertikalen Wegen, ähnlich wie in einem Straßennetz.
Die euklidische Metrik misst dagegen die direkte Luftlinie:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$
Betrachten wir die Punkte \(A = (1, 1)\) und \(B = (2, 2)\).
Dann gilt:
$$ d_T(A, B) = 2 $$
$$ d(A, B) = \sqrt{2} \approx 1{,}41 $$
Die Abstände sind also verschieden. Daher kann es keine Isometrie geben, die beide Metriken gleichzeitig erhält.
Die Ebene mit der Taximetrik ist nicht isometrisch zur Ebene mit der euklidischen Metrik.
Dieses Beispiel zeigt deutlich: Auch wenn zwei Metriken dieselbe Topologie erzeugen, können ihre geometrischen Eigenschaften grundlegend verschieden sein.
Und so weiter.
