Der Abstand von Mengen

Der Abstand zweier Mengen $A$ und $B$ in einem metrischen Raum $(X, d)$ ist definiert als das Infimum der Abstände zwischen allen Punktpaaren aus $A$ und $B$: $$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A \ , \ b \in B \}, $$ wobei $d(a, b)$ den Abstand der Punkte $a$ und $b$ bezüglich der Metrik $d$ bezeichnet und $\inf$ die größte untere Schranke dieser Abstände ist.

Um diesen Abstand zu bestimmen, betrachtet man alle möglichen Kombinationen von Punkten aus $A$ und $B$ und untersucht, wie klein ihre Abstände werden können.

Anschaulich gesagt: Der Abstand zweier Mengen ist der kleinste Wert, den die Abstände zwischen ihren Elementen erreichen können.

Hinweis: Der Abstand misst, wie nahe sich die Elemente zweier Mengen kommen können. Er sagt jedoch nichts darüber aus, ob sich die Mengen tatsächlich schneiden oder einen gemeinsamen Punkt besitzen.

Wann ist der Abstand gleich null?

Der Abstand ist genau dann null, wenn sich Punkte aus $A$ und $B$ beliebig stark annähern lassen. Das bedeutet jedoch nicht, dass sie zusammenfallen oder dass die Mengen sich überschneiden.

Insbesondere kann $d(A, B) = 0$ auch dann gelten, wenn die Mengen disjunkt sind, also $A \cap B = \emptyset$.

Beispiel

Betrachten wir zwei Mengen $A$ und $B$ auf der reellen Zahlengeraden mit der üblichen Metrik $d(x_1, x_2) = |x_1 - x_2|$.

Wir unterscheiden drei typische Fälle:

A] Fall 1

Sei $A = \{0\}$ und $B = [1, 2]$. Dann beträgt der Abstand $1$.

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(0, 1) = 1 $$

Der einzige Punkt von $A$, nämlich $0$, liegt genau eine Einheit vom nächstgelegenen Punkt aus $B$ entfernt, also von $1$.

Abstand zwischen einem einzelnen Punkt und einem abgeschlossenen Intervall

B] Fall 2

Sei $A = [0, 1]$ und $B = [1, 2]$. Dann ist der Abstand gleich null.

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(1, 1) = 0 $$

Die beiden Mengen berühren sich im Punkt $1$. Daher ist ihr Abstand null.

zwei abgeschlossene Intervalle mit einem gemeinsamen Randpunkt

In diesem Fall sind die Mengen nicht disjunkt, denn:

$$ A \cap B = \{ 1 \} $$

C] Fall 3

Sei $A = (0, 1)$ und $B = (1, 2)$. Auch hier ist der Abstand gleich null.

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} $$

Obwohl die beiden Intervalle keinen gemeinsamen Punkt besitzen, gilt:

$$ A \cap B = \emptyset $$

Man kann nämlich Punkte aus $A$ und $B$ beliebig nahe an den Wert $1$ heranrücken lassen, ohne ihn jemals zu erreichen. Dadurch wird der Abstand $|a - b|$ beliebig klein.

zwei offene Intervalle ohne Schnittmenge mit Abstand null

Daher folgt:

$$ d(A, B) = \inf \{ |a - b| \mid a \in A, b \in B \} = 0 $$

Dieses Beispiel zeigt deutlich: Auch wenn zwei Mengen keinen gemeinsamen Punkt haben, können sich ihre Elemente beliebig annähern.

In diesem Fall ist ihr Abstand gleich null.

Hinweis: Ein Abstand von null bedeutet weder, dass zwei Mengen identisch sind, noch dass sie sich schneiden. Er beschreibt ausschließlich, dass sich ihre Elemente beliebig nahe kommen können.

Und so weiter.