Diskrete Topologie
Die diskrete Topologie \( T \) ist die umfassendste Topologie, die auf einer Menge \( X \) definiert werden kann, da sie sämtliche ihrer Teilmengen enthält.
In der diskreten Topologie umfasst die Familie der offenen Mengen \( T \) tatsächlich jede beliebige Teilmenge von \( X \). Folglich gilt: Jede Teilmenge von \( X \) ist eine offene Menge.
Das bedeutet, dass jedes einzelne Element von \( X \) bereits für sich allein eine offene Menge bildet - was wiederum heißt, dass jeder Punkt „isoliert“ von den übrigen Punkten ist.
Anders ausgedrückt: Es gibt keinerlei Beschränkungen in Bezug auf die Nähe oder den Abstand zwischen den Elementen; jede Anordnung ist zulässig.
Hinweis. Eine Topologie auf einer Menge \( X \) ist eine Sammlung von Teilmengen von \( X \) (den sogenannten „offenen Mengen“), die die folgenden drei grundlegenden Axiome erfüllt:
- Die leere Menge und die gesamte Menge \( X \) gehören zu \( T \).
- Beliebige Vereinigungen von Mengen aus \( T \) gehören ebenfalls zu \( T \).
- Endliche Durchschnitte von Mengen aus \( T \) sind wiederum Elemente von \( T \).
Die Bezeichnung „diskret“ rührt daher, dass die Elemente von \( X \) als vollständig voneinander getrennte Objekte betrachtet werden - ohne jeden Begriff von Nähe oder Stetigkeit.
Es handelt sich um die größte Topologie, die man auf einer Menge definieren kann, da keine andere Topologie mehr offene Mengen enthalten kann als die diskrete: Sie umfasst bereits sämtliche Teilmengen von \( X \).
Hinweis. Diese Axiome bilden die Grundlage der Topologie, da sie ermöglichen, die Struktur offener Mengen zu untersuchen und zu analysieren, wie Elemente eines Raums „nahe beieinander“ oder „stetig verbunden“ sein können - was letztlich zum Begriff der Stetigkeit führt.
Eine zentrale Eigenschaft dieser Topologie lautet:
In der diskreten Topologie ist jede Teilmenge eines topologischen Raums zugleich offen und abgeschlossen.
Diese Eigenschaft ergibt sich daraus, dass die diskrete Topologie sämtliche Teilmengen des Raums als offen betrachtet.
Somit ist auch das Komplement jeder Teilmenge von \( X \) offen.
In der Topologie gilt: Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Wenn also das Komplement jeder Teilmenge offen ist, dann ist jede Teilmenge gleichzeitig abgeschlossen.
Diese Besonderheit der diskreten Topologie führt dazu, dass jede Teilmenge „clopen“ ist - also sowohl offen als auch abgeschlossen, ohne Ausnahme.
Hinweis. In der diskreten Topologie gilt diese Eigenschaft für jede beliebige Teilmenge, nicht nur für einzelne Punkte. Der Grund dafür ist, dass jeder Punkt selbst eine offene Menge darstellt - ebenso wie jede beliebige Kombination von Punkten. Da das Komplement einer Teilmenge wiederum eine Teilmenge von \( X \) und somit offen ist, folgt unmittelbar, dass jede Teilmenge notwendigerweise auch abgeschlossen ist.
Ein Konkretes Beispiel
Betrachten wir zur Veranschaulichung ein einfaches Beispiel einer diskreten Topologie auf einer endlichen Menge \( X \) mit drei Elementen.
$$ X = \{a, b, c\} $$
Die Potenzmenge von \( X \), also die Menge aller möglichen Teilmengen von \( X \), besteht aus den folgenden Elementen:
- Die leere Menge: \(\emptyset\)
- Eindimensionale Teilmengen: \(\{a\}\), \(\{b\}\), \(\{c\}\)
- Zweielementige Teilmengen: \(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\), \(\{b, c\}\)
- Die gesamte Menge: \(\{a, b, c\}\)
In der diskreten Topologie auf \( X \) wird jede Teilmenge von \( X \) als offen betrachtet.
Daher lautet die diskrete Topologie \( T \) auf \( X \):
$$ T = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\} \} $$
In dieser Topologie sind definitionsgemäß alle Teilmengen von \( X \) offen.
Hinweis. Diese Familie von Mengen bildet eine Topologie, da sie sowohl \( X \) als auch die leere Menge enthält. Darüber hinaus bleibt jede beliebige Vereinigung sowie jeder endliche Durchschnitt offener Mengen wiederum in \( T \). Da in der diskreten Topologie alle Teilmengen offen sind, gibt es keinerlei Einschränkungen hinsichtlich Nähe oder Stetigkeit zwischen den Elementen von \( X \).
Betrachten wir nun die Teilmenge \( \{ a \} \). Nach der Definition der diskreten Topologie ist sie offen.
Zugleich ist \( \{ a \} \) abgeschlossen, da ihr Komplement \( X \setminus \{a\} = \{b, c\} \) ebenfalls offen ist. Erinnern wir uns: Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Daher ist in der diskreten Topologie die Teilmenge \( \{ a \} \) gleichzeitig offen und abgeschlossen.
Dasselbe gilt selbstverständlich für jede andere Teilmenge dieser Topologie.
Und so weiter.
