Topologie offener Rechtecke

Die Topologie der offenen Rechtecke ist ein zentrales Konzept in der Mathematik, um die Struktur der Ebene $ \mathbb{R}^2 $ zu beschreiben. Offene Mengen werden hier als Vereinigungen von offenen Rechtecken aufgefasst. Jedes dieser Rechtecke entsteht als kartesisches Produkt zweier offener Intervalle auf den Achsen $x$ und $y$. So erhält man ein anschauliches und zugleich leistungsfähiges Werkzeug, um topologische Eigenschaften im zweidimensionalen Raum zu untersuchen.

Grundlage dieser Topologie ist eine Basis, die ausschließlich aus rechtenckigen Umgebungen besteht. Diese Bausteine lassen sich beliebig kombinieren, um beliebige offene Mengen zu erzeugen.

Eine Teilmenge $ U \subseteq \mathbb{R}^2 $ ist genau dann offen, wenn sie zu jedem Punkt $ (x, y) $ ein vollständig in $ U $ enthaltenes offenes Rechteck umfasst. Auf diese Weise wird Offenheit greifbar und lokal überprüfbar.

Offene Rechtecke übernehmen damit eine Schlüsselrolle bei der Beschreibung der euklidischen Topologie der Ebene.

$$ B= \{ (a, b) \times (c, d) | a< b, c<d \} $$

Die reellen Zahlen $ a, b, c, d $ legen die horizontale und vertikale Ausdehnung des Rechtecks fest. Jede Wahl dieser vier Werte erzeugt ein offenes Rechteck, und aus ihrer Gesamtheit entsteht die gesamte Topologie.

Diese Sichtweise bietet eine Alternative zur gewohnten Definition über offene Kreisscheiben. Beide Ansätze führen jedoch zur gleichen euklidischen Topologie.

Bemerkung : Die Wahl der Basis ist flexibel. Ob man offene Kreisscheiben oder offene Rechtecke verwendet, spielt für den Begriff der Offenheit keine Rolle. Beide Basen erzeugen dieselben offenen Mengen und damit dieselbe Topologie.

Ein konkretes Beispiel

Ein offenes Rechteck in $ \mathbb{R}^2 $ entsteht als Produkt zweier offener Intervalle, eines auf der $x$-Achse und eines auf der $y$-Achse.

Betrachten wir die Intervalle $ (1, 3) $ auf der $x$-Achse und $ (2, 4) $ auf der $y$-Achse.

Grafische Darstellung eines offenen Rechtecks im Raum

Das entstehende offene Rechteck enthält alle Punkte $ (x, y) $, für die $ x \in (1, 3) $ und $ y \in (2, 4) $ gilt, also formal $ (1, 3) \times (2, 4) $.

Punkt (2,3) innerhalb eines offenen Rechtecks

Der Punkt $ (2, 3) $ liegt eindeutig in diesem Rechteck, da seine Koordinaten jeweils streng innerhalb der beiden Intervalle liegen.

Bemerkung : Der Rand gehört nicht zum Rechteck. Punkte auf den Geraden $ x = 1 $, $ x = 3 $, $ y = 2 $ oder $ y = 4 $ sind ausgeschlossen.