Topologie des ausgeschlossenen Punktes

Die Topologie des ausgeschlossenen Punktes auf einer Menge $X$ ist eine topologische Struktur $T$, die dadurch entsteht, dass ein bestimmter Punkt $p$ aus $X$ entfernt wird.

Die zu dieser Topologie gehörenden Mengen sind folgende :

die leere Menge ($Ø$)
die Gesamtheit $X$
alle Teilmengen von $X$, die den Punkt $p$ nicht enthalten

Anders ausgedrückt: Eine Teilmenge von $X$ ist in der Topologie des ausgeschlossenen Punktes genau dann offen, wenn sie entweder leer ist, ganz $X$ umfasst oder den Punkt $p$ nicht enthält.

Diese Konstruktion definiert tatsächlich eine Topologie, da sie die drei grundlegenden Axiome einer topologischen Struktur erfüllt.

Bemerkung : Das Besondere an dieser Topologie besteht darin, dass sie auf dem Ausschluss eines einzelnen Punktes beruht - was aus topologischer Sicht zu teils unerwarteten Eigenschaften führen kann.

Ein konkretes Beispiel

Betrachten wir die Menge $X$, die aus drei Elementen besteht :

$$ X = \{a, b, c\} $$

Wir wählen $p = a$ als den ausgeschlossenen Punkt.

Die Topologie des ausgeschlossenen Punktes auf $X$ umfasst somit folgende Mengen :

die leere Menge : $Ø$
die Gesamtheit : $X = \{a, b, c\}$
die Teilmengen, die $a$ nicht enthalten : $\{b\}, \{c\}, \{b, c\}$

Daraus ergibt sich die folgende Topologie :

$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$

Überprüfen wir nun, dass $T$ tatsächlich die Axiome einer Topologie erfüllt :

Abgeschlossenheit unter beliebigen Vereinigungen :
Zum Beispiel gilt $\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}$ und $\{b\} \cup \emptyset = \{b\}$ - beide Mengen gehören zu $T$.
Abgeschlossenheit unter endlichen Durchschnitten :
Etwa $\{b\} \cap \{c\} = \emptyset$ und $\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}$ - beide Mengen sind ebenfalls Elemente von $T$.
Vorhandensein der leeren Menge und der Gesamtheit : Sowohl $\emptyset$ als auch $X$ gehören selbstverständlich zur Topologie.

Dieses Beispiel verdeutlicht, dass bereits der Ausschluss eines einzigen Punktes (hier $a$) ausreicht, um eine Topologie zu erzeugen, die den offenen Mengen von $X$ eine spezifische Bedingung auferlegt.