Dichte Mengen in topologischen Räumen

In einem topologischen Raum $ X $ nennt man eine Teilmenge $ A $ dicht, wenn ihr Abschluss mit dem gesamten Raum übereinstimmt: $$ \text{Cl}(A) = X $$

Anschaulich bedeutet das, dass eine dichte Menge den Raum im topologischen Sinn vollständig „ausfüllt“. Jeder Punkt von $ X $ liegt entweder in $ A $ selbst oder ist ein Häufungspunkt von $ A $.

Der Abschluss einer Menge umfasst dabei sowohl ihre eigenen Punkte als auch alle Grenz- beziehungsweise Häufungspunkte.

Anschauliche Beispiele

Beispiel 1

In der üblichen Topologie auf $ \mathbb{R} $ ist die Menge der rationalen Zahlen $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ dicht.

Zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen liegt immer mindestens eine rationale Zahl. Deshalb lässt sich jede reelle Zahl beliebig genau durch Elemente aus $ \mathbb{Q} $ annähern.

Der Abschluss von $ \mathbb{Q} $ ist daher die gesamte reelle Achse:

$$ \text{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R} $$

Damit ist $ \mathbb{Q} $ eine dichte Teilmenge von $ \mathbb{R} $.

Bemerkung. Ganz analog ist in der üblichen Topologie auf $ \mathbb{R} $ auch die Menge der irrationalen Zahlen $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $ dicht. Da sich jede reelle Zahl ebenso gut durch irrationale Zahlen approximieren lässt, gilt ebenfalls: $$ \text{Cl}(\mathbb{I}) = \mathbb{R} $$

Beispiel 2

In der Topologie des endlichen Komplements auf $ \mathbb{R} $ ist auch die Menge $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ dicht.

In dieser Topologie heißt eine Menge offen, wenn ihr Komplement endlich ist.

Da das Komplement von $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ lediglich aus der endlichen Menge $ \{0\} $ besteht, ist $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ offen.

Um den Abschluss zu bestimmen, betrachtet man die Häufungspunkte der Menge.

Durch das Hinzufügen des Punktes 0 erhält man den gesamten Raum. Außerdem gibt es keine echte abgeschlossene Teilmenge von $ \mathbb{R} $, die $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ enthält. Daraus folgt:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus \{0\}) = \mathbb{R} $$

Die Menge $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ ist also dicht in $ \mathbb{R} $.

Bemerkung. Dieses Beispiel zeigt eine typische Eigenschaft der Topologie des endlichen Komplements. Jede unendliche Teilmenge ist hier automatisch dicht. Die einzigen nichttrivialen abgeschlossenen Mengen sind die endlichen Mengen und der Raum $ \mathbb{R} $ selbst. Deshalb ist der Abschluss jeder unendlichen Teilmenge immer der gesamte Raum.

Beispiel 3

In der üblichen Topologie auf $ \mathbb{R} $ ist das offene Intervall $ (0,1) $ nicht dicht.

Sein Abschluss ist das abgeschlossene Intervall $ [0,1] $, da die Randpunkte 0 und 1 Häufungspunkte des Intervalls sind:

$$ \text{Cl}((0,1)) = [0,1] $$

Da dieser Abschluss nicht mit $ \mathbb{R} $ übereinstimmt, ist $ (0,1) $ in $ \mathbb{R} $ nicht dicht.

Bemerkung. Betrachtet man $ (0,1) $ hingegen als Teilmenge von $ [0,1] $ mit der induzierten Topologie, so ist sie dort dicht, denn ihr Abschluss ist in diesem Raum gleich $ [0,1] $. Dieses Beispiel macht deutlich, dass die Dichtheit einer Menge immer vom betrachteten Umgebungsraum abhängt. $ (0,1) $ ist nicht dicht in $ \mathbb{R} $, wohl aber in $ [0,1] $.

Und so weiter.