Topologie des ausgezeichneten Punktes

Die Topologie des ausgezeichneten Punktes auf einer Menge $ X $ mit einem festgelegten Punkt $ p $ ist die Menge aller Teilmengen von $ X $, die entweder leer sind oder den Punkt $ p $ enthalten.

Anders gesagt: Diese Topologie umfasst die leere Menge, die gesamte Menge $ X $ sowie alle Teilmengen von $ X $, in denen $ p $ enthalten ist.

In der Literatur findet man dafür auch die Bezeichnung Topologie des festen Punktes.

Hinweis. Damit eine solche Familie tatsächlich eine Topologie bildet, müssen die grundlegenden Axiome erfüllt sein: Sie muss die leere Menge und die Gesamtmenge enthalten und unter beliebigen Vereinigungen sowie endlichen Schnitten abgeschlossen sein.

Beispiel

Sei $ X = \{a, b, c\} $ und wählen wir $ a $ als ausgezeichneten Punkt. Die zugehörige Topologie des ausgezeichneten Punktes besteht dann aus:

der leeren Menge: $ \emptyset $
der gesamten Menge: $ X = \{a, b, c\} $
allen Teilmengen, die $ a $ enthalten: $ \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\} $

Daraus ergibt sich die folgende Topologie:

$$ T = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\} \} $$

Man kann leicht überprüfen, dass diese Familie die Axiome einer Topologie erfüllt:

Sie enthält sowohl die leere Menge als auch die gesamte Menge.
Sie ist unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen: Die Vereinigung beliebiger Mengen, die $ a $ enthalten (mit Ausnahme der leeren Menge), enthält wiederum $ a $ und gehört somit zu $ T $.
Sie ist unter endlichen Schnitten abgeschlossen: Der Schnitt endlich vieler Mengen aus $ T $ enthält - sofern er nicht leer ist - stets den Punkt $ a $ und bleibt daher in $ T $.

Damit ist gezeigt, dass diese Konstruktion tatsächlich eine wohldefinierte Topologie auf $ X $ bildet.