Beispiel einer Topologie

Wir möchten alle möglichen Topologien bestimmen, die auf der Menge $X$ definiert werden können.

$$ X = \{ a,b \} $$

Dazu betrachten wir alle Familien von Teilmengen von $X$, die die formale Definition einer Topologie erfüllen.

Definition einer Topologie. Eine Topologie auf einer Menge $X$ ist eine Familie $T$ von Teilmengen von $X$, die die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

$T$ enthält sowohl die leere Menge $∅$ als auch die gesamte Menge $X$.
$T$ ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen (ob endlich oder unendlich vieler) Mengen aus $T$.
$T$ ist abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten von Mengen aus $T$.

Für die Menge $ X = \{a,b\} $ gilt: Ihre Potenzmenge, also die Menge aller Teilmengen, lautet

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Da jede Topologie auf $X$ notwendigerweise $∅$ und $X$ enthalten muss, sind diese beiden Mengen in allen zulässigen Topologien enthalten.

Im Folgenden sehen wir die vollständige Liste aller Familien von Teilmengen, die die Definition einer Topologie erfüllen:

Die triviale (oder minimale) Topologie, die nur die zwingend erforderlichen Mengen enthält: $$ T_1 = \{ ∅, \{a,b\} \} $$
Die Topologie, die zusätzlich die einelementige Menge $\{a\}$ enthält: $$ T_2 = \{ ∅, \{a\}, \{a,b\} \} $$
Die Topologie, die zusätzlich die einelementige Menge $\{b\}$ enthält: $$ T_3 = \{ ∅, \{b\}, \{a,b\} \} $$
Die diskrete (oder maximale) Topologie, die sämtliche Teilmengen von $X$ umfasst: $$ T_4 = \{ ∅, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} $$

Dies sind also alle möglichen Topologien auf der Menge $X$.

Die triviale Topologie besitzt die einfachste Struktur: Sie unterscheidet lediglich zwischen der leeren Menge und der gesamten Menge. Die diskrete Topologie hingegen ist die feinste, da sie alle Teilmengen als offen betrachtet.

Damit existieren auf der Menge $ X = \{a,b\} $ genau vier verschiedene Topologien.

Beispiel 2

Betrachten wir nun einen etwas komplexeren Fall: eine Menge mit drei Elementen.

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Wir wollen prüfen, ob die folgende Mengenfamilie eine Topologie auf $X$ bildet:

$$ T_3 = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \} $$

Zunächst überprüfen wir, ob $ T_3 $ sowohl die leere Menge als auch die gesamte Menge $X = \{a,b,c\}$ enthält.

Beide Mengen sind tatsächlich enthalten - die erste Bedingung ist also erfüllt.

Als Nächstes überprüfen wir die Abgeschlossenheit unter beliebigen Vereinigungen.

Die Vereinigung $ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} $ gehört jedoch nicht zu $T_3$, was der Definition einer Topologie widerspricht:

$$ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \notin T $$

Dieses Gegenbeispiel genügt, um zu zeigen, dass $T_3$ keine Topologie auf $X$ ist.

Da eine der zentralen Bedingungen verletzt ist, müssen wir die Stabilität unter Durchschnitten nicht weiter prüfen.

Das Verfahren lässt sich auf komplexere Mengen sinngemäß fortsetzen.