Die Topologie der unteren Grenze

In der Topologie der unteren Grenze wird eine offene Menge als jede Vereinigung halboffener Intervalle der Form [a, b) verstanden, wobei a kleiner als b ist.

Einfach gesagt: Ein Intervall ist hier offen, wenn es seinen linken Randpunkt einschließt, den rechten aber ausschließt.

Die Basis dieser Topologie besteht aus allen Mengen der Form:

$$ B = \{ [a,b) ⊂ R \ | \ a<b \} $$

Jedes Basiselement ist also ein Intervall, das am linken Ende „geschlossen" und am rechten Ende „offen" ist.

Hinweis: Diese Topologie ist eine interessante Alternative zur Standardtopologie der reellen Zahlen (R), in der offene Intervalle wie (a, b) beide Endpunkte ausschließen.

Die Topologie der unteren Grenze wird oft in Einführungskursen zur Topologie behandelt, weil sie anschaulich zeigt, wie die Wahl einer bestimmten Topologie das Verständnis von Offenheit grundlegend verändert.

In dieser Struktur gelten Intervalle der Form [a, b) als offen - obwohl sie ihren linken Randpunkt enthalten. Das mag zunächst ungewohnt wirken, eröffnet aber neue Perspektiven auf die Idee von Kontinuität und offenen Mengen.

Ein praktisches Beispiel

Stellen wir uns vor, wir betrachten die reellen Zahlen R und erklären alle halboffenen Intervalle [a, b) zu offenen Mengen. Dann gehören zum Beispiel [0,2), [1,4) oder [-4,2) zu den offenen Mengen dieser Topologie.

Die Gesamtheit dieser nach links abgeschlossenen, nach rechts offenen Intervalle bildet die Basis der sogenannten Topologie der unteren Grenze.

Dieses Konzept zeigt eindrucksvoll, wie schon eine kleine Änderung in der Definition „offen" oder „geschlossen" ein völlig neues topologisches Verhalten erzeugt - ein typisches Beispiel dafür, wie kreativ und flexibel mathematisches Denken sein kann.