Topologie des oberen Grenzwerts
In der Topologie des oberen Grenzwerts gelten als offene Mengen alle Vereinigungen von rechts-halboffenen Intervallen der Form \( (a, b] \), wobei \( a < b \) gilt.
Anders gesagt: Ein Intervall ist hier „offen", wenn es seinen oberen Randpunkt einschließt, den unteren jedoch ausschließt. Diese kleine Veränderung hat große Auswirkungen - sie verändert, was wir unter „Offenheit" verstehen.
Formal wird die Basis dieser Topologie so definiert:
$$ B = \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \ | \ a<b \} $$
Jede offene Menge in dieser Struktur enthält also stets ihren oberen Grenzwert - ein interessantes Gegenstück zur üblichen Vorstellung in der Standardtopologie.
Hinweis. Zum Vergleich: In der Topologie des unteren Grenzwerts bestehen die offenen Mengen aus Intervallen der Form \([a, b)\). Dort ist der untere Randpunkt enthalten, der obere jedoch nicht. Diese Gegenüberstellung zeigt, wie stark sich das Verhalten von Mengen und Funktionen ändern kann - nur weil man die „offene Seite" vertauscht.
Die Topologie des oberen Grenzwerts ist ein schönes Beispiel dafür, wie flexibel die mathematische Idee der Offenheit ist. Schon eine kleine Anpassung der Definition kann zu völlig neuen Eigenschaften führen - etwa zu anderen Vorstellungen von Stetigkeit oder Konvergenz.
Ein konkretes Beispiel
Betrachten wir die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) mit dieser Topologie, die durch rechts-halboffene Intervalle erzeugt wird.
Beispiele für offene Mengen sind etwa \( (1,3] \), \( (2,6] \) oder \( (-3,5] \).
Die Gesamtheit all dieser Intervalle bildet die Basis der Topologie des oberen Grenzwerts. In jedem Intervall ist das obere Ende eingeschlossen, während das untere fehlt.
Diese Variante der Topologie ist besonders spannend, weil sie sich klar von der gewohnten euklidischen Struktur unterscheidet. Sie eröffnet neue Perspektiven auf zentrale mathematische Konzepte - und zeigt, dass selbst „Offenheit" eine Frage der Definition ist.
