Satz über die Beschränkung einer Metrik

Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum. Dann kann man aus \( d \) eine neue, nach oben beschränkte Metrik definieren durch \( d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) \). Diese neue Metrik induziert genau dieselbe Topologie wie die ursprüngliche Metrik \( d \). Das bedeutet: Die offenen Mengen bleiben unverändert.

Die Konstruktion ist einfach und zugleich sehr wirkungsvoll. Man ersetzt die ursprüngliche Distanzfunktion \( d(x, y) \) durch:

$$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$

Solange \( d(x, y) < 1 \), bleibt alles unverändert und es gilt \( d'(x, y) = d(x, y) \). Erst wenn der Abstand größer oder gleich \(1\) ist, wird er auf \(1\) „abgeschnitten". Auf diese Weise entsteht eine Metrik, deren Werte alle im Intervall \([0,1]\) liegen.

Entscheidend ist: Diese Begrenzung verändert die Topologie nicht. Die Struktur der offenen Mengen, und damit der gesamte topologische Aufbau des Raums, bleibt exakt derselbe.

Bemerkung : Allgemein kann man statt \(1\) jede positive Zahl \(\varepsilon > 0\) verwenden: $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ Auch in diesem Fall bleibt die induzierte Topologie unverändert. Zur Vereinfachung betrachten wir im Folgenden den Fall \(\varepsilon = 1\).

Ein anschauliches Beispiel

Wir betrachten den Raum \( \mathbb{R} \) mit der üblichen Metrik:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Daraus definieren wir die beschränkte Metrik:

$$ d'(x, y) = \min(|x - y|, 1) $$

Jetzt kann kein Abstand mehr größer als \(1\) werden.

Für \( x = 2 \) und \( y = 5 \) gilt: \( d(2, 5) = 3 \), während \( d'(2, 5) = 1 \). Für \( x = 2 \) und \( y = 2{,}5 \) ergibt sich dagegen \( d'(2, 2.5) = 0.5 \), da der Abstand kleiner als \(1\) ist. In diesem Fall stimmen beide Metriken überein. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$

Die Metrik \( d' \) kappt also große Abstände, lässt aber kleine unverändert. Für die Topologie ist genau das entscheidend.

Warum bleibt die Topologie gleich?

In metrischen Räumen werden offene Mengen als Vereinigungen von offenen Kugeln beschrieben.

Auch wenn die Kugeln bezüglich \( d' \) kleiner sind, kann man jede offene Menge aus der ursprünglichen Topologie weiterhin durch geeignete Vereinigungen solcher Kugeln darstellen.

Ein konkretes Beispiel macht das deutlich. Betrachten wir die offene Kugel \( B_d(3, 2) \).

$$ B_d(3, 2) = \{y \in \mathbb{R} \mid |3 - y| < 2\} $$

Das entspricht dem offenen Intervall:

$$ (1, 5) $$

Mit der Metrik \( d' \) lässt sich dieses Intervall durch zwei kleinere Kugeln überdecken:

$$ B_{d'}(2, 1) \cup B_{d'}(3, 1) $$

Diese entsprechen den Intervallen \( (1, 3) \) und \( (2, 4) \). Ihre Vereinigung ergibt wieder \( (1, 5) \).

Dieses Beispiel zeigt den zentralen Punkt: Mit genügend vielen kleinen Kugeln kann man jede offene Menge rekonstruieren. Deshalb bleibt die Topologie unverändert.

Beweis

Zunächst zeigen wir, dass \( d' \) tatsächlich eine Metrik ist. Dazu überprüfen wir die vier Axiome:

• \( d'(x, y) \geq 0 \),
• \( d'(x, y) = 0 \) genau dann, wenn \( x = y \),
• \( d'(x, y) = d'(y, x) \),
• \( d' \) erfüllt die Dreiecksungleichung.

Nun zeigen wir, dass die durch \( d \) und \( d' \) induzierten Topologien übereinstimmen. Dazu genügt es, beide Inklusionen zu prüfen:

• \( T \subseteq T' \),
• \( T' \subseteq T \).

A] \( T \subseteq T' \)

• Für \( r \leq 1 \) gilt: $$ B_d(x, r) = B_{d'}(x, r) $$
• Für \( r > 1 \) gilt: $$ B_{d'}(x, r) \subseteq B_d(x, r) $$

B] \( T' \subseteq T \)

• Für \( r \leq 1 \) gilt wieder: $$ B_d(x, r) = B_{d'}(x, r) $$
• Für \( r > 1 \) kann jede Kugel \( B_d(x, r) \) als Vereinigung kleinerer Kugeln mit Radius \( \leq 1 \) dargestellt werden:

$$ B_d(x, r) = \bigcup_{i} B_{d'}(x_i, \varepsilon) $$

Fazit

Beide Topologien enthalten einander, also gilt \( T = T' \). Die beschränkte Metrik \( d' \) verändert daher nicht die topologische Struktur des Raums, sondern nur die numerischen Werte der Abstände.