Satz zum Vergleich von durch Metriken induzierten Topologien

Seien $d$ und $d'$ zwei Metriken auf einer Menge $X$, und seien $\mathcal{T}$ bzw. $\mathcal{T}'$ die von ihnen induzierten Topologien. Die Topologie $\mathcal{T}'$ heißt feiner als $\mathcal{T}$, genau dann, wenn für jedes $x \in X$ und jedes $\varepsilon > 0$ ein $\delta > 0$ existiert mit $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon). $$ Dabei bezeichnen $B_d(x, \varepsilon)$ und $B_{d'}(x, \delta)$ die offenen Kugeln mit Zentrum $x$ und Radien $\varepsilon$ bzw. $\delta$, definiert durch die Metriken $d$ und $d'$.

Die zentrale Idee ist einfach: Auf derselben Menge $X$ kann man unterschiedliche Metriken definieren. Jede dieser Metriken erzeugt eine eigene Topologie, also eine bestimmte Struktur von offenen Mengen.

Die Metrik $d$ induziert die Topologie $\mathcal{T}$.
Die Metrik $d'$ induziert die Topologie $\mathcal{T}'$.

Der Satz liefert ein klares Kriterium, um diese beiden Topologien zu vergleichen. Er sagt:

Die Topologie $\mathcal{T}'$ ist genau dann feiner als $\mathcal{T}$, wenn jede offene Menge von $\mathcal{T}$ lokal durch offene Mengen von $\mathcal{T}'$ beschrieben werden kann.

Anschaulich bedeutet das: Um jeden Punkt einer offenen Menge aus $\mathcal{T}$ herum findet man eine kleinere offene Umgebung, die bereits zur Topologie $\mathcal{T}'$ gehört.

Dieses Kriterium ist besonders nützlich, weil es den Vergleich von Topologien auf eine konkrete Bedingung für offene Kugeln zurückführt.

Beispiel
Beweis

Beispiel

Betrachten wir die Ebene $X = \mathbb{R}^2$ mit zwei verschiedenen Metriken.

Euklidische Metrik: $$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. $$ Die offenen Kugeln sind Kreisscheiben: $$ B_d((x, y), \varepsilon) = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{(u - x)^2 + (v - y)^2} < \varepsilon\}. $$
Diskrete Metrik: $$ d'((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \begin{cases} 0 & \text{falls } (x_1, y_1) = (x_2, y_2), \\ 1 & \text{falls } (x_1, y_1) \neq (x_2, y_2). \end{cases} $$ Die offenen Kugeln sind: \[ B_{d'}((x, y), \delta) = \begin{cases} \{(x, y)\} & \text{für } \delta \leq 1, \\ X & \text{für } \delta > 1. \end{cases} \]

Wir wollen zeigen, dass die diskrete Topologie feiner ist als die euklidische.

Nach dem Satz genügt es zu prüfen, ob gilt:

$$ \forall x \in X, \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 \text{ mit } B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon). $$

Sei $P = (x_0, y_0)$ ein beliebiger Punkt und $\varepsilon > 0$. Die Menge $B_d(P, \varepsilon)$ ist eine offene Kreisscheibe um $P$.

Für die diskrete Metrik gilt:

Ist $\delta \leq 1$, dann ist $B_{d'}(P, \delta) = \{P\}$.
Ist $\delta > 1$, dann ist $B_{d'}(P, \delta) = X$.

Insbesondere ist jede Einpunktmenge offen.

Wählen wir $\delta = 1$, so erhalten wir $B_{d'}(P, \delta) = \{P\}$. Da $P$ in jeder euklidischen Kugel um sich selbst liegt, gilt sofort:

$$ B_{d'}(P, \delta) \subseteq B_d(P, \varepsilon). $$

Ein konkretes Beispiel: Der Punkt $P = (1, 2)$ und die euklidische Kugel mit Radius $\varepsilon = 0{,}4$. Diese Kugel ist eine offene Menge.
Offene Kreisscheibe in der euklidischen Metrik und Punktumgebung in der diskreten Metrik
In der diskreten Topologie ist $\{P\}$ offen. Da dieser Punkt in der Kreisscheibe liegt, ist die Bedingung erfüllt. Dasselbe Argument funktioniert für jeden Punkt der Ebene.

Damit folgt unmittelbar: Die diskrete Topologie ist feiner als die euklidische.

Beweis

Die Aussage beruht auf einer Äquivalenz. Beide Richtungen lassen sich direkt aus den Definitionen ableiten.

A] Erste Richtung

Angenommen, $\mathcal{T}'$ ist feiner als $\mathcal{T}$.

Dann ist jede offene Menge von $\mathcal{T}$ auch in $\mathcal{T}'$ offen.
Insbesondere ist jede Kugel $B_d(x, \varepsilon)$ offen in $\mathcal{T}'$.
Nach der Definition von Offenheit enthält diese Kugel um jeden Punkt eine $d'$-Kugel.
Daraus folgt die Existenz eines $\delta > 0$ mit $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon). $$

B] Zweite Richtung

Nun sei vorausgesetzt, dass für alle $x$ und $\varepsilon$ eine solche Inklusion existiert.

Sei $U$ eine offene Menge in $\mathcal{T}$.
Dann enthält $U$ um jeden Punkt eine Kugel $B_d(x, \varepsilon)$.
Diese enthält wiederum eine $d'$-Kugel $B_{d'}(x, \delta)$.
Damit besitzt jeder Punkt von $U$ eine offene Umgebung in $\mathcal{T}'$, die in $U$ liegt.

Also ist $U$ auch in $\mathcal{T}'$ offen. Damit ist $\mathcal{T}'$ feiner als $\mathcal{T}$.

Die Äquivalenz ist damit vollständig gezeigt.

Und so weiter.