Stetigkeit in metrischen Räumen

In diesem Abschnitt lernst du, wie man Stetigkeit in metrischen Räumen präzise beschreibt und warum die bekannte $\varepsilon$-$\delta$-Definition dabei eine zentrale Rolle spielt.

Eine Funktion $f$, definiert zwischen zwei metrischen Räumen $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$, heißt stetig, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

Du wählst einen Punkt $x \in X$ und eine beliebige Genauigkeit $\varepsilon > 0$.
Dann existiert ein $\delta > 0$, sodass gilt:
Für alle Punkte $x' \in X$ mit $$ d_X(x, x') < \delta $$ folgt automatisch: $$ d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$

Die Idee dahinter ist einfach: Wenn sich der Eingang nur ein wenig ändert, dann ändert sich auch der Ausgang nur wenig. Genau das ist mit Stetigkeit gemeint.

Diese Beschreibung nennt man die $\varepsilon$-$\delta$-Definition der Stetigkeit. Sie verallgemeinert den Stetigkeitsbegriff aus der Analysis auf beliebige metrische Räume.

Bemerkung : In der Analysis I wird Stetigkeit meist für Funktionen $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definiert. Auch dort gilt: Zu jedem $\varepsilon > 0$ existiert ein $\delta > 0$, sodass aus $|x - x'| < \delta$ stets $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$ folgt. Dabei verwendet man die Standardmetriken: $$ d_X(x, x') = |x - x'| $$ $$ d_Y(f(x), f(x')) = |f(x) - f(x')| $$ Die hier vorgestellte Definition erweitert dieses Prinzip auf beliebige metrische Räume. Die Grundidee bleibt dieselbe: Kleine Änderungen im Input führen zu kleinen Änderungen im Output.

Ein einfaches Beispiel
Warum sind diese Definitionen äquivalent?

Ein einfaches Beispiel

Betrachten wir zwei metrische Räume:

Definitionsbereich: $X = \mathbb{R}$ mit der Standardmetrik $d_X(x, x') = |x - x'|$.
Zielraum: $Y = \mathbb{R}$ mit der Standardmetrik $d_Y(y, y') = |y - y'|$.

Sei die Funktion gegeben durch:

$$ f(x) = 2x $$

Wir zeigen jetzt, dass diese Funktion stetig ist. Dazu verwenden wir zwei verschiedene Perspektiven, die sich am Ende als gleichwertig erweisen.

1] Stetigkeit über offene Mengen

Eine Menge $V \subseteq Y$ heißt offen, wenn zu jedem Punkt $y \in V$ eine kleine Umgebung gehört, die vollständig in $V$ enthalten ist. Formal bedeutet das: Es gibt ein $\varepsilon > 0$, sodass die offene Kugel $B_Y(y, \varepsilon) = \{y' \in Y \mid |y - y'| < \varepsilon\}$ in $V$ liegt.

Sei nun $V \subseteq Y$ offen. Das Urbild von $V$ ist definiert durch:

$$ f^{-1}(V) = \{x \in X \mid f(x) \in V\} $$

Da $f(x) = 2x$, gilt:

$$ f^{-1}(V) = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x \in V\} $$

Wähle ein $x \in f^{-1}(V)$. Dann liegt $f(x)$ in $V$, also existiert ein $\varepsilon > 0$, sodass eine Umgebung von $f(x)$ vollständig in $V$ enthalten ist.

Setzt man $\delta = \varepsilon / 2$, dann gilt für alle $x'$ mit $|x - x'| < \delta$:

$$ |f(x) - f(x')| = 2|x - x'| < \varepsilon $$

Damit liegt auch $f(x')$ in $V$. Also ist die Umgebung $B_X(x, \delta)$ vollständig im Urbild enthalten.

Das bedeutet: Das Urbild einer offenen Menge ist wieder offen. Genau das ist die topologische Definition von Stetigkeit.

2] Stetigkeit mit der $\varepsilon$-$\delta$-Definition

Jetzt zeigen wir die Stetigkeit direkt über die Definition.

Gegeben sind ein Punkt $x$ und eine Genauigkeit $\varepsilon > 0$. Wir suchen ein $\delta > 0$, sodass gilt:

$$ |x - x'| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x')| < \varepsilon $$

Da $f(x) = 2x$, folgt:

$$ |f(x) - f(x')| = |2x - 2x'| = 2|x - x'| $$

Wählen wir

$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$

dann erfüllt diese Wahl genau die geforderte Bedingung. Damit ist die Stetigkeit gezeigt.

3] Fazit

Die Funktion $f(x) = 2x$ ist stetig.
Die beiden Zugänge zur Stetigkeit, topologisch und über $\varepsilon$-$\delta$, führen zum gleichen Ergebnis.

Warum sind diese Definitionen äquivalent?

Zum Abschluss zeigen wir, warum beide Definitionen tatsächlich dasselbe beschreiben.

Topologische Definition : Eine Funktion ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge wieder offen ist.
Definition über Umgebungen : Zu jedem Punkt und jeder offenen Menge um das Bild existiert eine passende Umgebung im Definitionsbereich.

1] Von der topologischen Definition zur Umgebungsdefinition

Ist $f$ stetig im topologischen Sinn, dann ist das Urbild jeder offenen Menge offen. Enthält diese Menge den Punkt $x$, dann enthält ihr Urbild eine Umgebung von $x$. Diese Umgebung wird durch $f$ wieder in die ursprüngliche Menge abgebildet.

2] Von der Umgebungsdefinition zur topologischen Definition

Umgekehrt: Wenn zu jedem Punkt eine passende Umgebung existiert, dann lässt sich zeigen, dass das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Jede Stelle im Urbild besitzt nämlich eine Umgebung, die vollständig im Urbild liegt.

Damit sind beide Definitionen gleichwertig.

Die Kernaussage bleibt: Stetigkeit bedeutet Kontrolle über kleine Abweichungen, unabhängig davon, welche Sprache man verwendet, topologisch oder analytisch.