Coordenadas (o Pesos) de un Vector
Las coordenadas (o pesos) de un vector v con respecto a una base B son los coeficientes escalares a1,...,an de la combinación lineal que determina de forma única dicho vector en el espacio vectorial.
Definición
Dada una base B compuesta por un número finito de vectores del espacio V definido sobre el campo K, para cada vector v existe un único conjunto de escalares a1,...,an (llamados coordenadas o pesos) tal que: v = a1 v1 + ... + an vn.
Estos escalares se denominan coordenadas únicamente cuando la combinación lineal que define al vector es única.
Por tanto, una vez fijada una base, todo vector del espacio puede representarse de forma inequívoca mediante una combinación lineal de escalares (sus coordenadas).
v = a1 v1 + ... + an vn
Ejemplos y Ejercicios sobre Coordenadas de Vectores
Ejemplo 1
Consideremos el espacio vectorial V = R2, definido sobre el campo R, donde cada vector puede representarse usando la base canónica.
$$ v_1 = (1,0) \quad v_2 = (0,1) $$
Por tanto:
$$ B = \{ v_1 = (1,0), v_2 = (0,1) \} $$
Representemos ahora un vector cualquiera del espacio, por ejemplo, v = (4, 2).
La combinación lineal del vector v se plantea así:
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = a_1 (1,0) + a_2 (0,1) $$
$$ (4,2) = (a_1,0) + (0,a_2) $$
$$ (4,2) = (a_1,a_2) $$
lo que implica:
$$ \begin{cases} a_1 = 4 \\ a_2 = 2 \end{cases} $$
Así pues, las coordenadas del vector v = (4,2) respecto de la base canónica son a1=4 y a2=2.
Verificación
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = 4 (1,0) + 2 (0,1) $$
$$ (4,2) = (4,0) + (0,2) = (4,2) $$
Nota. Estas coordenadas son únicas. Por tanto, el vector v solo puede representarse respecto de la base B mediante los coeficientes a1=4 y a2=2.
Ejemplo 2
Ahora vamos a representar el mismo vector v = (4,2), pero usando una base distinta B2 del mismo espacio vectorial V.
$$ B_2 = \{ v_1 = (1,1), v_2 = (2,1) \} $$
La combinación lineal del vector v con la base B2 se formula así:
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = a_1 (1,1) + a_2 (2,1) $$
$$ (4,2) = (a_1,a_1) + (2a_2,a_2) $$
$$ (4,2) = (a_1 + 2a_2,a_1 + a_2) $$
De aquí se deduce el siguiente sistema:
$$ \begin{cases} a_1 + 2a_2 = 4 \\ a_1 + a_2 = 2 \end{cases} $$
Resolviendo el sistema:
$$ \begin{cases} a_1 = 2 - a_2 \\ (2 - a_2) + 2a_2 = 4 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_2 = 2 \\ a_1 = 2 - 2 = 0 \end{cases} $$
Por tanto, las coordenadas del vector v = (4,2) respecto de la base B2 son a1=0 y a2=2.
Verificación
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = 0 (1,1) + 2 (2,1) $$
$$ (4,2) = (0,0) + (4,2) = (4,2) $$
Nota. Estas coordenadas también son únicas. Así, el vector v solo puede representarse respecto de la base B2 mediante los coeficientes a1=0 y a2=2.
En resumen, para expresar el mismo vector v = (4,2) usando la base B2, se requieren coordenadas distintas a las que se usan con la base canónica u otra base cualquiera del espacio vectorial.
Y así sucesivamente.
