La Dimensión de una Base en un Espacio Vectorial
La dimensión de una base de un espacio vectorial corresponde al número de vectores linealmente independientes {v1,...,vn} que la integran.
$$ \mathrm{dim}_K(n) $$ $$\text{con} \:\: n \in \mathbb{Z},\: n \ge 0 $$
La dimensión (o cardinalidad) es un número entero no negativo que puede ir desde cero hasta el infinito.
Se denota como dimK(n), donde K es el campo sobre el que está definido el espacio vectorial, y n representa la cantidad de vectores en la base.
Nota. Si el campo K es claro por el contexto, puede omitirse. En ese caso, la dimensión se indica simplemente como dim(n).
La dimensión de una base puede ser finita o infinita, según el número de vectores que la componen:
- Dimensión finita
La base contiene un número finito de vectores, es decir, su dimensión es un número natural n.
$$ B = \{ v_1 , ..., v_n \} $$ - Dimensión infinita
La base está formada por una cantidad infinita de vectores.
$$ B = \{ v_1 , v_2 , ... \} $$
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1
La siguiente base está formada por dos vectores, v1 y v2, por lo tanto su dimensión es 2.
$$ B = \{ v_1 , v_2 \} $$
Ejemplo 2
Esta base está compuesta por tres vectores: {v1, v2, v3}, por lo que su dimensión es 3.
$$ B = \{ v_1 , v_2 , v_3 \} $$
Ejemplo 3
Este conjunto contiene únicamente el vector nulo {0v}.
Como solo incluye el vector cero, no forma una base. En consecuencia, su dimensión es 0.
$$ B = \{ 0_v \} $$
Dimensión Cero y el Espacio Trivial
La dimensión cero (también llamada nula) es un caso particular de dimensión finita.
En álgebra lineal, solo el espacio trivial tiene dimensión cero, ya que está formado exclusivamente por el vector nulo 0v.
$$ \{ 0_v \} $$
El vector nulo 0v es linealmente dependiente.
Nota. Un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única forma de obtener el vector nulo mediante una combinación lineal es que todos los coeficientes sean cero: $$ \vec{v} = k_1 \cdot \vec{v}_1 + k_2 \cdot \vec{v}_2 + \dots + k_n \cdot \vec{v}_n $$ En cambio, en el caso del vector nulo, cualquier combinación con coeficientes no todos nulos también da como resultado el vector cero. Por tanto, el vector nulo no cumple la condición de independencia lineal: es siempre dependiente.
Por esta razón, el espacio trivial no puede tener una base - ya que no contiene vectores linealmente independientes - y es el único espacio con dimensión cero.
Y así sucesivamente.
