La base de un espacio vectorial
En álgebra lineal, una base es un sistema generador mínimo de un espacio vectorial $V$.
Definición
En un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $K$, un conjunto de vectores $B = \{ v_1, \dots, v_n \}$ se denomina base de $V$ si cumple las siguientes condiciones:
- Genera todo el espacio vectorial $V$.
- Sus vectores son linealmente independientes.
$$ B = \{ v_1, \dots, v_n \} $$
Este tipo de conjunto también se conoce como sistema generador libre.
Características de una base, coordenadas y dimensión
Para que un conjunto de vectores sea una base, deben cumplirse dos condiciones fundamentales:
- Generar el espacio vectorial
El conjunto debe ser un sistema generador.Nota. Esto significa que cualquier vector de $V$ debe poder expresarse como una combinación lineal de los vectores de la base. Esta propiedad es común a todos los sistemas generadores $L_R$.
- Ser linealmente independiente
Ninguno de los vectores puede escribirse como combinación lineal de los demás.Diferencia entre base y sistema generador. La independencia lineal de todos los vectores de $B$ es lo que distingue a una base de un conjunto generador cualquiera, donde puede haber vectores dependientes.
Coordenadas o componentes de un vector
En una base $B$, cada vector del espacio $V$ tiene una única representación como combinación lineal de los vectores de $B$. A los escalares de esta combinación se les llama coordenadas o componentes del vector respecto de la base.
$$ v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n $$
Nota. Esta propiedad se demuestra con el teorema de unicidad de la representación respecto de una base.
Por tanto, el sistema lineal asociado tiene una única solución.
Determinar una base equivale, en consecuencia, a demostrar que un sistema admite solución única.
Dimensión de una base
El número de vectores que componen una base se llama dimensión del espacio vectorial: $$ \dim(V) = n \qquad \text{con } n \in \mathbb{Z}_{\ge 0} $$
La dimensión puede ser:
- Finita: si la base contiene un número finito de vectores.
- Infinita: si la base está formada por infinitos vectores.
Dimensión cero. El único espacio vectorial con dimensión cero es el espacio trivial $\{ \vec{0} \}$, compuesto únicamente por el vector nulo. Como no contiene vectores linealmente independientes, no admite ninguna base.
Ejemplo
Si $B = \{ v_1 , v_2 \}$, entonces la dimensión del espacio es 2.
Ejemplos y ejercicios sobre bases
Ejemplo 1
Consideremos el espacio $V = \mathbb{R}^2$ sobre el cuerpo $K = \mathbb{R}$ y los siguientes vectores:
$$ v_1 = (1,0), \qquad v_2 = (0,1) $$
Para verificar si forman una base, comprobamos su independencia lineal:
$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 = (a_1, a_2) $$
En coordenadas:
$$ (x, y) = (a_1, a_2) \Rightarrow \begin{cases} a_1 = x \\ a_2 = y \end{cases} $$
Este sistema tiene solución única para cualquier par $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, lo que confirma que $v_1$ y $v_2$ son linealmente independientes y, por tanto, constituyen una base de $\mathbb{R}^2$.
También lo podemos ver en forma matricial:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
El determinante del menor de orden 2 es:
$$ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \ne 0 $$
El rango es igual al número de incógnitas ⇒ independencia confirmada.
Ejemplo 2
Consideremos ahora los vectores $v_1 = (1,1)$ y $v_2 = (-1,1)$ en $\mathbb{R}^2$.
La combinación lineal es:
$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 = (a_1 - a_2, a_1 + a_2) $$
En coordenadas:
$$ (x, y) = (a_1 - a_2, a_1 + a_2) $$
Que corresponde al sistema:
$$ \begin{cases} a_1 - a_2 = x \\ a_1 + a_2 = y \end{cases} $$
Forma matricial:
$$ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$
Determinante del menor de orden 2:
$$ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 1 = 2 \ne 0 $$
Rango = 2 ⇒ vectores independientes ⇒ forman una base.
Nota. Para más detalles sobre cómo comprobar independencia lineal mediante el rango de una matriz, haz clic aquí.
Verificación por sustitución:
$$ \begin{cases} a_1 - a_2 = x \\ a_1 + a_2 = y \end{cases} $$ $$ \Rightarrow a_1 = y - a_2 $$ $$ \Rightarrow (y - a_2) - a_2 = x \Rightarrow a_2 = \frac{y - x}{2} $$ $$ \Rightarrow a_1 = y - \frac{y - x}{2} = \frac{x + y}{2} $$
Para cualquier $(x, y)$, existe una única solución ⇒ los vectores forman una base.
¿Cuántas bases existen en un espacio vectorial?
Un espacio vectorial no tiene una única base.
Todo espacio vectorial real admite una infinidad de bases.
Cuando un espacio posee varias bases, la representación de un mismo vector varía según la base elegida.
El caso del espacio vectorial trivial
El espacio vectorial trivial $\{0_v\}$ constituye una excepción.
El espacio vectorial trivial $\{0_v\}$ no admite ninguna base.
Demostración
Este espacio solo contiene el vector nulo, el cual es siempre linealmente dependiente.
Nota. Un vector es linealmente independiente si su combinación lineal es igual al vector nulo únicamente cuando todos los coeficientes son cero: $$ \vec{v} = k_1 \vec{v_1} + \cdots + k_n \vec{v_n} = \vec{0} $$ Sin embargo, el vector nulo puede obtenerse aun cuando alguno de los coeficientes es distinto de cero, por ejemplo: $k_1 \ne 0$ y los demás nulos: $$ \vec{0} = k_1 \vec{v_1} = \vec{0} $$ Por tanto, el vector nulo nunca puede ser linealmente independiente.
Esto implica que el espacio trivial no contiene vectores linealmente independientes y, en consecuencia, no puede tener base.
La base canónica
Una base se denomina canónica cuando cada vector $v_i$ tiene todos sus componentes iguales a cero, salvo el $i$-ésimo, que vale 1.
En cualquier espacio $K^n$ existe siempre una base canónica.
Ejemplo
En el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$ sobre el cuerpo $\mathbb{R}$, se consideran los siguientes vectores:
$$ v_1 = (1,0,0,0) $$ $$ v_2 = (0,1,0,0) $$ $$ v_3 = (0,0,1,0) $$ $$ v_4 = (0,0,0,1) $$
Estos vectores forman la matriz identidad, cuya diagonal está compuesta por unos y el resto de los elementos son ceros:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Resulta evidente que estos vectores son linealmente independientes, ya que el rango de la matriz es 4, igual al número de columnas.
Su combinación lineal general es:
$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + a_4 v_4 $$ $$ v = (a_1, a_2, a_3, a_4) $$
Por lo tanto:
$$ (x, y, z, w) = (a_1, a_2, a_3, a_4) $$
Lo cual se puede expresar como el siguiente sistema:
$$ \begin{cases} a_1 = x \\ a_2 = y \\ a_3 = z \\ a_4 = w \end{cases} $$
Este sistema tiene una única solución, lo cual confirma que se trata de una base.
Teoremas fundamentales sobre las bases
A continuación, se presentan los principales teoremas relacionados con las bases de espacios vectoriales:
Teorema de unicidad de la representación de un vector en una base
Todo vector $v$ del espacio vectorial $V$ se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de una base $B$, mediante escalares $a_1, \dots, a_n$.
Teorema de dependencia lineal respecto a la base
Cada vector del espacio vectorial $V$ es linealmente dependiente de los vectores que conforman una base $B$ (es decir, se puede escribir como una combinación de ellos).
Teorema de la dimensión de una base
Si un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $K$ tiene una base $B$ con un número finito de vectores, entonces cualquier otra base $B'$ de $V$ tendrá exactamente el mismo número de elementos. Es decir, todas las bases comparten la misma dimensión.
Corolario
El número de vectores de una base depende exclusivamente del espacio vectorial, no de la base concreta que se elija.
Teorema de completación de una base
Si un conjunto de vectores linealmente independientes tiene $k < n$ elementos, siempre es posible completarlo añadiendo $n - k$ vectores también linealmente independientes hasta formar una base.
Otros teoremas relacionados con las bases
- En un espacio vectorial finito de dimensión $n$, a partir de un conjunto generador $\{ v_1, v_2, \dots, v_s \}$ con $s > n$, se puede obtener una base eliminando los vectores linealmente dependientes (demostración).
- En un espacio vectorial finito de dimensión $n$, cualquier conjunto de $p < n$ vectores linealmente independientes puede completarse hasta formar una base añadiendo vectores adecuados (demostración).
- En un espacio vectorial $V$ de dimensión conocida $\dim(V)=n$, si un conjunto de $n$ vectores genera el espacio, entonces dicho conjunto es una base de $V$ (demostración).
- En un espacio vectorial $V$ de dimensión conocida $\dim(V)=n$, si un conjunto de $n$ vectores es linealmente independiente, entonces constituye una base de $V$ (demostración).
