Teorema de completación de una base en un espacio vectorial

Cuando un conjunto de vectores linealmente independientes no constituye una base completa de un espacio vectorial, es posible ampliarlo añadiendo otros vectores linealmente independientes hasta obtener una base del espacio.

Definición

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita $n$ sobre un cuerpo $K$. Dado un conjunto de $k$ vectores linealmente independientes $v_1,\dots,v_k \in V$, con $k < n$, existen $n - k$ vectores adicionales $v_{k+1},\dots,v_n \in V$ tales que
$$ B = \{ v_1, \dots, v_k, v_{k+1}, \dots, v_n \} $$
forma una base de V.

Ejemplo

Consideremos el espacio vectorial $V = \mathbb{R}^3$ sobre el cuerpo $\mathbb{R}$, y los siguientes dos vectores:

$$ v_1 = (2,1,0) \qquad v_2 = (1,1,0) $$

Estos vectores son linealmente independientes, pero no generan todo el espacio, por lo que aún no constituyen una base completa:

$$ B = \{ v_1 , v_2 , \ ? \} $$

Para determinar un tercer vector que complete la base, representamos $v_1$ y $v_2$ como columnas de una matriz:

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

A continuación, ampliamos esta matriz con los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$:

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Nota. Podríamos utilizar cualquier otra base de $\mathbb{R}^3$, pero la base canónica resulta especialmente conveniente por su estructura diagonal.

Aplicamos ahora el método de Gauss-Jordan para llevar la matriz a su forma escalonada:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Los pivotes (elementos principales) se encuentran en las columnas primera, segunda y quinta.

Por lo tanto, seleccionamos esas columnas en la matriz original, lo que nos lleva a identificar el tercer vector linealmente independiente:

El vector que completa la base es $v_3 = (0,0,1)$.

La base completa del espacio es:

$$ B = \{ v_1 = (2,1,0), \ v_2 = (1,1,0), \ v_3 = (0,0,1) \} $$

Ahora, el número de vectores de la base coincide con la dimensión del espacio $V = \mathbb{R}^3$, es decir, $n = 3$.