Teorema de Unicidad de la Representación de Vectores en una Base
Todo vector en un espacio vectorial puede representarse, respecto de una base B, mediante una única combinación lineal de escalares.
Definición
Sea B = {v1, v2, ..., vn} una base del espacio vectorial V sobre el campo K. Entonces, todo vector v ∈ V puede expresarse como una combinación lineal única $$ v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_n v_n $$ con un número finito de coeficientes α1, ..., αn pertenecientes a K.
Demostración
Sea v un vector arbitrario del espacio V:
$$ \vec{v} \in V $$
La base del espacio está formada por n vectores:
$$ B = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ..., \vec{v}_n \} $$
Por definición de base, el vector v puede escribirse como combinación lineal de los vectores de B:
$$ \vec{v} = \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \dots + \alpha_n \vec{v}_n $$
Supongamos, por contradicción, que v también admite otra combinación lineal distinta en términos de los mismos vectores:
$$ \vec{v} = \beta_1 \vec{v}_1 + \beta_2 \vec{v}_2 + \dots + \beta_n \vec{v}_n $$
Como ambas expresiones representan al mismo vector, deben ser iguales:
$$ \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \dots + \alpha_n \vec{v}_n = \beta_1 \vec{v}_1 + \beta_2 \vec{v}_2 + \dots + \beta_n \vec{v}_n $$
Reuniendo todos los términos en un solo lado:
$$ (\alpha_1 - \beta_1) \vec{v}_1 + (\alpha_2 - \beta_2) \vec{v}_2 + \dots + (\alpha_n - \beta_n) \vec{v}_n = 0 $$
Dado que los vectores {v1, ..., vn} son linealmente independientes, esta combinación lineal se anula únicamente si todos los coeficientes son cero:
$$ \alpha_1 = \beta_1, \quad \alpha_2 = \beta_2, \quad \dots, \quad \alpha_n = \beta_n $$
Es decir, ambas combinaciones lineales coinciden.
Queda así demostrado que la representación de un vector respecto de una base es única.
Demostración Alternativa
Una base es un conjunto generador minimal de vectores.
En consecuencia, cualquier vector del espacio puede expresarse como combinación lineal de los n vectores base:
$$ v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n $$
Queremos demostrar que esta representación es la única posible.
Según el teorema, cada vector en el espacio admite una única representación en coordenadas respecto de la base, es decir, existe un único n-ple de escalares a1, ..., an tal que v = a1v1 + ... + anvn.
Para probarlo, supongamos lo contrario.
Supongamos que existen dos combinaciones lineales distintas que generan el mismo vector v:
$$ v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n = b_1 w_1 + \dots + b_m w_m $$
Restando ambos lados:
$$ a_1 v_1 + \dots + a_n v_n - b_1 w_1 - \dots - b_m w_m = 0 $$
Sea k el mínimo entre n y m:
$$ k = \min(n, m) $$
Supongamos que vi = wi para i = 1,...,k, y que a partir de i = k+1 los vectores difieren.
Reescribimos la ecuación:
$$ \sum_{i=1}^{k} (a_i - b_i) v_i + \sum_{i=k+1}^{n} a_i v_i - \sum_{j=k+1}^{m} b_j w_j = 0 $$
Dado que los vectores vi y wj son linealmente independientes, esta combinación se anula solo si:
- ai = bi para todo i = 1,...,k
- ak+1 = ... = an = 0
- bk+1 = ... = bm = 0
Esto implica que ambas combinaciones son iguales y triviales.
En conclusión, la representación de un vector mediante una base es única.
Los coeficientes que aparecen en esta combinación se conocen como las coordenadas o pesos del vector respecto de la base.
Así pues, si los vectores de la base son linealmente independientes, entonces la representación de cualquier vector del espacio es única y está determinada por un solo conjunto de n escalares.
