Teorema de Dependencia Lineal de un Vector respecto a una Base

Definición

En un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $K$, dado un conjunto base $B = \{ v_1, \dots, v_n \}$, todo vector $v \in V$ es linealmente dependiente de los vectores de dicha base.

Demostración

Sea $B$ una base del espacio vectorial $V$ y sea $v \in V$ un vector arbitrario. Por definición de base, existen escalares $a_1, \dots, a_n \in K$ tales que:

$$ v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n $$

Reordenando la igualdad, obtenemos:

$$ v - a_1 v_1 - \dots - a_n v_n = 0 $$

Lo cual equivale a una combinación lineal de los vectores $\{ v, v_1, \dots, v_n \}$ que resulta en el vector nulo:

$$ \vec{0}_v = 1 \cdot v + (-a_1) \cdot v_1 + \dots + (-a_n) \cdot v_n $$

Dado que el coeficiente de $v$ es distinto de cero ($1$), esta combinación no es trivial.

$$ (1)\quad v - a_1 v_1 - \dots - a_n v_n = 0 $$

Por tanto, el conjunto $\{ v, v_1, \dots, v_n \}$ es linealmente dependiente.

Conclusión

Agregar cualquier vector a una base produce siempre un conjunto linealmente dependiente.